Cím: Mérőlap felvételire készülőknek V.
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1999/április, 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Az n milyen értékére lesz az a, b, cn egy számtani sorozat három egymást követő tagja, ha
a=tg(0π5)+tg(1π5)+tg(2π5)+tg(3π5)+tg(4π5)+tg(5π5),b=sincos6060+cossin3030,c1=3,cn=2cn-1?

 
2. Az 5x2-6(a+b)x+a2+b2+2ab=0 másodfokú egyenletben az a és a b valós paraméterek, amelyekre 1<a+b<5. Mutassuk meg, hogy az egyenlet egyik gyöke 0-nál nagyobb, de 1-nél kisebb, a másik pedig 1-nél nagyobb. Igaz-e a feladat állításának a megfordítása?
 
3. Határozzuk meg az n, m egész számokat olyan módon, hogy
A=n5-5n3+4n-2m+1
osztható legyen 5-tel!
 
4. Egy derékszögű háromszög beírt körének középpontja a csúcsoktól x, y és z távolságra van (z a kör középpontjának távolsága a derékszögű csúcstól). Mutassuk meg, hogy az xy, xz és yz oldalhosszúságú háromszög egyik szöge 135.
 
5. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyet az (x+2)2+(y-5)2=1, az (x-1)2+(y-6)2=1 és az (x-4)2+(y+3)2=1 egyenletű körök belülről érintenek.
 
6. Egy pozitív számokból álló számtani sorozat nem feltétlenül egymást követő tagjai a, b és c. Tudjuk, hogy
c-ba+a-cb+b-ac=0.
Adjuk meg a sorozat első n elemének összegét, ha ismerjük az első tagját.
 
7. Tekintsük a következő függvényeket: f(x)=sin4x+cos4x, g(x)=cosx. Adjunk meg olyan geometriai transzformációt, amely g képét f képébe viszi.
 
8. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
x-723+y+19983=25,x+y=1999.

Számadó László