Kezdőlap


Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek III.
Füzet:	1999/február, 87. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pécsi Janus Pannonius gimnázium tiszteletére, ahol az 1956‐57. tanévben tanítottam. 0mm

1. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán.
a)

2^{x} + \sqrt[]{2^{x + 2} \cdot 5^{x}} = 3 \cdot 5^{x}

; b)

\frac{1}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} = \frac{6}{x^{2} - 3 x + 5}

;
c)

2 sin 2 x + 2 sin x = 2 cos x + 1

2. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán.
a)

(x + 1) (| x | - 1) \leq - \frac{1}{2}

; b)

tg x + \frac{1}{tg x} \geq - 2

;
c)

log_{2} (4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 8) > 2

3. Tekintsük a

4 x - 3 y + 20 = 0

egyenletű

e

egyenest és az

x_{0} = - 2

abszcisszájú

E

pontját. A

k

kör sugara 10 egység, és az

e

egyenest az

E

pontban érinti.
a) Számítsa ki az

\vec{E K}

és

\vec{O K}

vektorok koordinátáit, ha

K

k

kör középpontja,

O

pedig az origó.
b) Írja fel a

k

kör egyenletét.

4. Igazolja, hogy az

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq 0

b^{2} - 4 a c > 0

) egyenlet két gyökének aránya pontosan akkor (akkor és csak akkor)

3 : 2

, ha

6 b^{2} = 25 a c

5. Az

A B C D

téglalapban

2 \cdot A B = 3 \cdot B C

. Az

A B

oldal egyenesének egy

P

pontjától a

C

, illetve

D

csúcsok távolsága

8 \sqrt[]{2}

, illetve

4 \sqrt[]{5}

egység. Számítsa ki a téglalap oldalainak hosszát. Hová esik a

P

pont?

6. Igazolja, hogy egy háromszög pontosan akkor derékszögű, ha

sin γ = cos α + cos β

, ahol

γ

a háromszög egyik hegyesszöge.

7. Oldja meg az

x^{1 + log_{a} x} > a^{2} x

egyenlőtlenséget, ahol

a > 0

a \neq 1

valós paraméter.

8. Határozza meg az

\begin{matrix} f (x, y) = x^{4} + 4 y^{4} + \frac{1}{x^{2} y^{2}} \end{matrix}

kifejezés legkisebb helyettesítési értékét! Mely

(x; y)

számpárok esetén veszi fel

f (x; y)

a legkisebb értékét?

Rábai Imre