Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/október, 387 - 388. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}+\frac{x+2}{x+1}=\frac{x-4}{x-3}+\frac{x+4}{x+3}-\frac{28}{15}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Igazolja, hogy minden háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{}^2\alpha =\text{sin}{}^2\beta +\text{sin}{}^2\gamma -2\text{sin}\beta \text{sin}\gamma \text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ a háromszög szögei.   3. Határozza meg az $a$ paraméter értékét úgy, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle -2<\frac{x^2+ax-2}{-x^2+x-1}<3}\end{array}$ egyenlőtlenség minden valós $x$-re teljesüljön.   4. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög alapja $BC=\mathrm{4,8}$ egység, a hozzá tartozó magasság $m=AD=\mathrm{4,5}$ egység. A $P$ pont az $AC$ szár olyan pontja, amelyre az $ABDP$ négyszög húrnégyszög. Számítsa ki az $AP$ szakasz hosszát.   5. Egy számtani sorozat első $n$, $k$, illetve $n+k$ elemének összege $S_n$, $S_k$, illetve $S_{n+k}$. Igazolja, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n+k\right)\left(S_n-S_k\right)=\left(n-k\right)S_{n+k}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Az $ABC$ háromszög két csúcspontja $A\left(0;5\right)$ és $B\left(-4;0\right)$, a háromszög területe 9 területegység. Számítsa ki az $X$ csúcspont abszcisszáját, ha ordinátája $7$.   7. Határozza meg az $a$ paraméter értékét úgy, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2-2\left(2a+1\right)x+a\left(a-1\right)=0}\end{array}$ egyenlet egyik gyöke $a$-nál kisebb, a másik gyöke $a$-nál nagyobb legyen.   8. Határozza meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-2\left(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \right)x+1+2\text{cos}{}^2\alpha =0}\end{array}$ egyenletben az $\alpha$ paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek a) két egyenlő, b) két különböző valós gyöke legyen. Rábai Imre