Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek IV.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1998/április, 202 - 203. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-10x+30}+x^2=10x-18.}\end{array}$   2. Felülnézetben egy $ABCDEF$ 10-egység oldalú szabályos hatszöget látunk, de a valóságban a csúcsok a vízszintes talajhoz képest rendre 4, 6, 3, 6, 2, 3 egység magasan vannak. Az $AD$, $BE$, valamint $CF$ egyenesek felülnézetben látszólag egy pontban metszik egymást. A valóságban milyen távolság van függőlegesen ezen egyenesek között a látszólagos metszéspontnál?   3. Az $\overline{abbc}$ alakú tízes számrendszerbeli négyjegyű szám prímszám. A különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek. A négy számjegy összege 26. Ha a számot egy vágással kétfelé vágjuk, akkor a keletkezett lehetséges számok közül $\overline{abb}$, $\overline{c}$, $\overline{ab}$, $\overline{bc}$, valamint $\overline{bbc}$ is prímszámok. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú négyjegyű számot.   4. A derékszögű koordinátarendszerben adottak a következő pontok: $A\left(0;0\right)$, $B\left(6;0\right)$, $D\left(0;6\right)$ $P\left(2;0\right)$, $S\left(0;4\right)$, $E\left(9;0\right)$, $F\left(0;9\right)$. Tudjuk továbbá, hogy a $C$ pont az $EF$ szakasz belső pontja. A $CD$ szakasz $C$-hez közelebbi harmadolópontja $R$, a $BC$ szakasz $B$-hez közelebbi harmadolópontja pedig $Q$. Az $AC$, $BD$, $PR$, $QS$ szakaszok felezőpontjai legyenek rendre $K$, $L$, $M$, $N$. Határozzuk meg $C$ pont koordinátáinak függvényében a $KL:MN$ arányt.   5. A valós számokon értelmezett $f$ függvény hozzárendelési szabálya: $f\left(a\right)=2a^3-3a^2+a$. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\text{sin}{}^{2}x\right)+f\left(\text{cos}{}^{2}x\right)=0.}\end{array}$   6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{\sqrt[]{5}}{7}\right)}^{\frac{2}{-5+\text{lg}x}-\frac{4}{1+\text{lg}x}}=\mathrm{9,8.}}\end{array}$   7. Adott két, egymást két pontban metsző, nem egy síkban fekvő körvonal. Mutassuk meg, hogy mindig létezik olyan gömbfelület, amelyre a két körvonal illeszkedik.   8. Három aranyásó minden nap annyi grammos aranyrögöt talált, ahányadik napja dolgoztak. Hányadik napon tudnak először egyenlően osztozkodni az aranyakon, ha a talált rögöket nem akarják feldarabolni? Számadó László