A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az egyenlet mindkét oldalát -nel osztva: | | Ez pontosan akkor teljesül, ha vagy . Az egyenlet megoldásai: , .
2. A feltétel és a koszinusztétel alkalmazásával | | ahonnan így (, ), a háromszög egyenlő szárú. (Az igazolás szinusztétel alkalmazásával is elvégezhető, adódik. A feltétellel belátható, hogy a oldalhoz tartozó magasságvonal a háromszög szimmetriatengelye.)
3. Nyilván és . Ezek a számok egyben az egyenlőtlenség megoldásai, mert ha a törtet -nel bővítjük, akkor | | egyenlőtlenséghez jutunk, ami minden megengedett -re teljesül. ( helyett bevezethetünk új változót.)
4. Mindkét tört számlálója pozitív állandó és a nevezők is pozitívak, így akkor veszik fel a legnagyobb értéküket, ha a nevezőjük a lehető legkisebb. a) Ha és , akkor , és az egyenlőség pontosan esetén teljesül. Mivel és , | | és csak akkor lesz egyenlőség, ha tehát, ha . Az adott kifejezés legnagyobb helyettesítési értéke , amit az helyen vesz fel. b) Tudjuk, hogy , ahol az egyenlőség pontosan és esetén teljesül. . Az egyenlőség akkor teljesül, ha és , azaz ha , vagy , . Az adott kifejezés legnagyobb értéke , amit az és az számpárok esetén vesz fel.
5. A feltételek szerint , tehát , azaz | | amiből Mivel , azért Az (1) és a (2) egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során az egyenletet kapjuk. Így ha , akkor , és ha , akkor .
6. A második egyenletből , így , azaz , ami szorzattá alakítással | | alakban írható. Az egész számok körében , azaz , vagy , vagy , vagy , . Az egyenletet a következő egész számokat tartalmazó számháromasok elégítik ki: | |
7. Az adott körnek két abszcisszájú pontja van, és . Az pontban az adott kört és az tengelyt érintő körök közös érintőjének az egyenlete . (Egy normálvektora az , ahol az adott kör középpontja.) A egyenletű érintő az tengelyt az ) pontban metszi. A feltételeknek két kör felel meg, ezek az tengelyt olyan , illetve pontban érintik, amelyekre , hiszen a külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Mivel , azért és . A keresett körök középpontja rajta van az egyenesen, amelynek egyenlete: , és az , illetve egyenletű egyeneseken. A keresett körök egyenlete: | | Az ponthoz tartozó érintőkörök egyenlete: | |
A feladat más módon is megoldható. Hogyan?
8. A feladatban szereplő egyenlet: . Az adott, -re másodfokú egyenlet diszkriminánsa , így a) vagy b) . a) Az egyenletnek két különböző és megoldása van, ha , azaz ha , egy (két egyenlő) megoldása van, az , ha vagy , nincs megoldása, ha vagy . b) Az egyenletnek két különböző és megoldása van, ha , egy (két egyenlő) megoldása van, az , ha vagy , nincs megoldása, ha vagy . Összefoglalva: Az egyenletnek négy különböző megoldása van, ha , három különböző megoldása van, ha vagy , két különböző megoldása van, ha vagy , egy (kettős) megoldása van, ha vagy , az egyenletnek nincs megoldása, ha vagy .
|
|