Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a III.sz. mérőlap (1998/2.sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/március, 141 - 143. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Az egyenlet mindkét oldalát $100=2^2\cdot 5^2$-nel osztva: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5^{x-2}\cdot 2^{\frac{x-2}{1-x}}=\mathrm{1,}{\left(5\cdot 2^{\frac{1}{1-x}}\right)}^{x-2}=1.}\end{array}$ Ez pontosan akkor teljesül, ha $x-2=0$ vagy $5\cdot 2^{\frac{1}{1-x}}=1$. Az egyenlet megoldásai: $x_1=2$, $x_2=\text{log}{}_{5}10$.   2. A feltétel és a koszinusztétel alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle -\frac{b}{a}=-2\text{cos}\gamma \text{és}-2\text{cos}\gamma =\frac{c^2-a^2-b^2}{ab}\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{c^2-a^2-b^2}{ab}=-\frac{b}{a}}\\ \hfill {\displaystyle c^2=a^2\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ így $c=a$ ($c>0$, $a>0$), a háromszög egyenlő szárú. (Az igazolás szinusztétel alkalmazásával is elvégezhető, $\alpha =\gamma$ adódik. A $b=2a\text{cos}\gamma$ feltétellel belátható, hogy a $b$ oldalhoz tartozó magasságvonal a háromszög szimmetriatengelye.)   3. Nyilván $x\ge -4$ és $x\ne 0$. Ezek a számok egyben az egyenlőtlenség megoldásai, mert ha a törtet ${\left(2+\sqrt[]{x+4}\right)}^2$-nel bővítjük, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(2+\sqrt[]{x+4}\right)}^2}& {\displaystyle >x+\mathrm{6,}\text{azaz a}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2+4\sqrt[]{x+4}}& {\displaystyle >0}\hfill \end{array}}}\end{array}$ egyenlőtlenséghez jutunk, ami minden megengedett $x$-re teljesül. ($\sqrt[]{x+4}$ helyett bevezethetünk új változót.)   4. Mindkét tört számlálója pozitív állandó és a nevezők is pozitívak, így akkor veszik fel a legnagyobb értéküket, ha a nevezőjük a lehető legkisebb. a) Ha $A>0$ és $B>0$, akkor $A+B\ge 2\sqrt[]{AB}$, és az egyenlőség pontosan $A=B$ esetén teljesül. Mivel $2^{x-1}$ és $2^{2-x}>0$, $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{x-1}+x^{2-x}+1\ge 2\sqrt[]{2^{x-1}\cdot 2^{2-x}}+1=2\sqrt[]{2}+1.}\end{array}$ és csak akkor lesz egyenlőség, ha $2^{x-1}=2^{2-x}$ tehát, ha $x=\frac{3}{2}$. Az adott kifejezés legnagyobb helyettesítési értéke $\frac{4\sqrt[]{2}+2}{2\sqrt[]{2}+1}=2$, amit az $x=\frac{3}{2}$ helyen vesz fel. b) Tudjuk, hogy $A^2+B^2\ge 0$, ahol az egyenlőség pontosan $A=0$ és $B=0$ esetén teljesül. ${\left(3-x+\text{lg}2y\right)}^2+{\left(x^2-1\right)}^2+16\ge 16$. Az egyenlőség akkor teljesül, ha $x^2-1=0$ és $3-x+\text{lg}2y=0$, azaz ha $x_1=1$, $y_1=\mathrm{0,005}$ vagy $x_2=-1$, $y_2=\mathrm{0,00005}$. Az adott kifejezés legnagyobb értéke $\frac{32}{16}=2$, amit az $\left(x_1;y_1\right)$ és az $\left(x_2;y_2\right)$ számpárok esetén vesz fel.   5. A feltételek szerint $S_{n+3}-S_n=\frac{126-75}{2}$, tehát $a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=\frac{51}{2}$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a_1+n\cdot \frac{1}{2}\right)+\left(a_1+\left(n+1\right)\cdot \frac{1}{2}\right)+\left(a_1+\left(n+2\right)\cdot \frac{1}{2}\right)=\frac{51}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a_1+n=16.}\end{array}$ (1) Mivel $\frac{75}{2}=\frac{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{2}\right)$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle n\left(4a_1+n-1\right)=150.}\end{array}$ (2) Az (1) és a (2) egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során az $n^2-31n+150=0$ egyenletet kapjuk. Így ha $n=6$, akkor $a_1=5$, és ha $n=25$, akkor $a_1=-\frac{9}{2}$.   6. A második egyenletből $x=y+z-3$, így ${\left(y+z-3\right)}^2-y^2-z^2=1$, azaz $yz-3y-3z=-4$, ami szorzattá alakítással $\begin{array}{c}{\displaystyle y\left(z-3\right)-3\left(z-3\right)-9=-\mathrm{4,}\left(y-3\right)\left(z-3\right)=5}\end{array}$ alakban írható. Az egész számok körében $5=1\cdot 5=5\cdot 1=\left(-1\right)\cdot \left(-5\right)=\left(-5\right)\cdot \left(-1\right)$, azaz $y-3=1$, $z-3=5$ vagy $y-3=5$, $z-3=1$ vagy $y-3=-1$, $z-3=-5$ vagy $y-3=-5$, $z-3=-1$. Az egyenletet a következő egész számokat tartalmazó $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ számháromasok elégítik ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(9;4;8\right)\mathrm{,}\left(9;8;4\right)\mathrm{,}\left(-3;2;-2\right)\mathrm{,}\left(-3;-2;2\right)\mathrm{.}}\end{array}$   7. Az adott körnek két $x_0=11$ abszcisszájú pontja van, $E_1\left(11;-9\right)$ és $E_2\left(11;-25\right)$. Az $E_1$ pontban az adott kört és az $x$ tengelyt érintő körök közös érintőjének az egyenlete $3x-4y=69$. (Egy normálvektora az $\frac{1}{2}\overrightarrow{E_{1}C}\left(3;-4\right)$, ahol $C\left(17;-17\right)$ az adott kör középpontja.) A $3x-4y=69$ egyenletű érintő az $x$ tengelyt az $M(23;0$) pontban metszi. A feltételeknek két kör felel meg, ezek az $x$ tengelyt olyan $F_1$, illetve $F_2$ pontban érintik, amelyekre $M{E}_1=M{F}_1=M{F}_2$, hiszen a külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Mivel $M{E}_1=15$, azért $F_1\left(8;0\right)$ és $F_2\left(38;0\right)$. A keresett körök középpontja rajta van az $E_{1}C$ egyenesen, amelynek egyenlete: $4x+3y=17$, és az $x=8$, illetve $x=38$ egyenletű egyeneseken. A keresett körök egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-8\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=5^2\mathrm{,}\text{illetve}{\left(x-38\right)}^2+{\left(y+45\right)}^2={45}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az $E_2\left(11;-25\right)$ ponthoz tartozó érintőkörök egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+64\right)}^2+{\left(y+125\right)}^2={125}^2\mathrm{,}\text{illetve}{\left(x-\frac{58}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{125}{9}\right)}^2={\left(\frac{125}{9}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A feladat más módon is megoldható. Hogyan?   8. A feladatban szereplő egyenlet: $x^4+2\left(m^2-5\right)x^2+m^4-10m^2+7=0$. Az adott, $x^2$-re másodfokú egyenlet diszkriminánsa $D=72={\left(6\sqrt[]{2}\right)}^2$, így a) $x^2=\left(5+3\sqrt[]{2}\right)-m^2$ vagy  b) $x^2=\left(5-3\sqrt[]{2}\right)-m^2$. a) Az  $x^2=5+3\sqrt[]{2}-m^2$  egyenletnek két különböző  $x_1$  és  $x_2$  megoldása van, ha $5+3\sqrt[]{2}-m^2>0$, azaz ha $-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}<m<\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$, egy (két egyenlő) megoldása van, az $x_0=0$, ha $m=\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$ vagy $m=-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$, nincs megoldása, ha $m>\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$ vagy $m<-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$. b) Az $x^2=\left(5-3\sqrt[]{2}\right)-m^2$ egyenletnek két különböző $x_3$ és $x_4$ megoldása van, ha $-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}<m<\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$, egy (két egyenlő) megoldása van, az $x_0=0$, ha $m=\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$ vagy $m=-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$, nincs megoldása, ha $m>\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$ vagy $m<-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$. Összefoglalva:  Az egyenletnek négy különböző megoldása van, ha $-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}<m<\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$,  három különböző megoldása van, ha $m=-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$ vagy $m=\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$,  két különböző megoldása van, ha $-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}<m<-\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}$ vagy $\sqrt[]{5-3\sqrt[]{2}}<m<\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$,  egy (kettős) megoldása van, ha $m=-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$ vagy $m=\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$,  az egyenletnek nincs megoldása, ha $m<-\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$ vagy $m>\sqrt[]{5+3\sqrt[]{2}}$. Rábai Imre