Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a III.sz. mérőlap (1998/2.sz.) feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1998/március, 141 - 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Az egyenlet mindkét oldalát 100=2252-nel osztva:
5x-22x-21-x=1,(5211-x)x-2=1.
Ez pontosan akkor teljesül, ha x-2=0 vagy 5211-x=1. Az egyenlet megoldásai: x1=2, x2=log510.
 
2. A feltétel és a koszinusztétel alkalmazásával
-ba=-2cosγés-2cosγ=c2-a2-b2ab,
ahonnan
c2-a2-b2ab=-bac2=a2,
így c=a (c>0, a>0), a háromszög egyenlő szárú.
(Az igazolás szinusztétel alkalmazásával is elvégezhető, α=γ adódik. A b=2acosγ feltétellel belátható, hogy a b oldalhoz tartozó magasságvonal a háromszög szimmetriatengelye.)
 
3. Nyilván x-4 és x0. Ezek a számok egyben az egyenlőtlenség megoldásai, mert ha a törtet (2+x+4)2-nel bővítjük, akkor
(2+x+4)2>x+6,azaz a2+4x+4>0
egyenlőtlenséghez jutunk, ami minden megengedett x-re teljesül.
(x+4 helyett bevezethetünk új változót.)
 
4. Mindkét tört számlálója pozitív állandó és a nevezők is pozitívak, így akkor veszik fel a legnagyobb értéküket, ha a nevezőjük a lehető legkisebb.
a) Ha A>0 és B>0, akkor A+B2AB, és az egyenlőség pontosan A=B esetén teljesül. Mivel 2x-1 és 22-x>0,
2x-1+x2-x+122x-122-x+1=22+1.
és csak akkor lesz egyenlőség, ha 2x-1=22-x tehát, ha x=32. Az adott kifejezés legnagyobb helyettesítési értéke 42+222+1=2, amit az x=32 helyen vesz fel.
b) Tudjuk, hogy A2+B20, ahol az egyenlőség pontosan A=0 és B=0 esetén teljesül. (3-x+lg2y)2+(x2-1)2+1616. Az egyenlőség akkor teljesül, ha x2-1=0 és
3-x+lg2y=0, azaz ha x1=1, y1=0,005 vagy x2=-1, y2=0,00005. Az adott kifejezés legnagyobb értéke 3216=2, amit az (x1;y1) és az (x2;y2) számpárok esetén vesz fel.
 
5. A feltételek szerint Sn+3-Sn=126-752, tehát an+1+an+2+an+3=512, azaz
(a1+n12)+(a1+(n+1)12)+(a1+(n+2)12)=512,
amiből
2a1+n=16.(1)
Mivel 752=n2(2a1+(n-1)12), azért
n(4a1+n-1)=150.(2)

Az (1) és a (2) egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során az n2-31n+150=0 egyenletet kapjuk. Így ha n=6, akkor a1=5, és ha n=25, akkor a1=-92.
 
6. A második egyenletből x=y+z-3, így (y+z-3)2-y2-z2=1, azaz yz-3y-3z=-4, ami szorzattá alakítással
y(z-3)-3(z-3)-9=-4,(y-3)(z-3)=5
alakban írható. Az egész számok körében 5=15=51=(-1)(-5)=(-5)(-1), azaz y-3=1, z-3=5 vagy y-3=5, z-3=1 vagy y-3=-1, z-3=-5 vagy y-3=-5, z-3=-1. Az egyenletet a következő egész számokat tartalmazó (x,y,z) számháromasok elégítik ki:
(9;4;8),(9;8;4),(-3;2;-2),(-3;-2;2).

 
7. Az adott körnek két x0=11 abszcisszájú pontja van, E1(11;-9) és E2(11;-25). Az E1 pontban az adott kört és az x tengelyt érintő körök közös érintőjének az egyenlete 3x-4y=69. (Egy normálvektora az 12E1C(3;-4), ahol C(17;-17) az adott kör középpontja.)
A 3x-4y=69 egyenletű érintő az x tengelyt az M(23;0) pontban metszi. A feltételeknek két kör felel meg, ezek az x tengelyt olyan F1, illetve F2 pontban érintik, amelyekre ME1=MF1=MF2, hiszen a külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. Mivel ME1=15, azért F1(8;0) és F2(38;0). A keresett körök középpontja rajta van az E1C egyenesen, amelynek egyenlete: 4x+3y=17, és az x=8, illetve x=38 egyenletű egyeneseken. A keresett körök egyenlete:
(x-8)2+(y+5)2=52,illetve(x-38)2+(y+45)2=452.
Az E2(11;-25) ponthoz tartozó érintőkörök egyenlete:
(x+64)2+(y+125)2=1252,illetve(x-583)2+(y+1259)2=(1259)2.

A feladat más módon is megoldható. Hogyan?
 
8. A feladatban szereplő egyenlet: x4+2(m2-5)x2+m4-10m2+7=0. Az adott, x2-re másodfokú egyenlet diszkriminánsa D=72=(62)2, így
a) x2=(5+32)-m2 vagy  b) x2=(5-32)-m2.
a) Az  x2=5+32-m2  egyenletnek két különböző  x1  és  x2  megoldása van, ha 5+32-m2>0, azaz ha -5+32<m<5+32, egy (két egyenlő) megoldása van, az x0=0, ha m=5+32 vagy m=-5+32, nincs megoldása, ha m>5+32 vagy m<-5+32.
b) Az x2=(5-32)-m2 egyenletnek két különböző x3 és x4 megoldása van, ha -5-32<m<5-32, egy (két egyenlő) megoldása van, az x0=0, ha m=5-32 vagy m=-5-32, nincs megoldása, ha m>5-32 vagy m<-5-32.
Összefoglalva: 
Az egyenletnek négy különböző megoldása van, ha -5-32<m<5-32
három különböző megoldása van, ha m=-5-32 vagy m=5-32
két különböző megoldása van, ha -5+32<m<-5-32 vagy 5-32<m<5+32
egy (kettős) megoldása van, ha m=-5+32 vagy m=5+32
az egyenletnek nincs megoldása, ha m<-5+32 vagy m>5+32.
Rábai Imre