Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek III.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/február, 89. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5^x\cdot 2^{\frac{x}{x-1}}=100.}\end{array}$   2. Igazolja, hogy ha egy háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a-b}{a}=1-2\text{cos}\gamma \mathrm{,}}\end{array}$ akkor a háromszög egyenlő szárú.   3. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{{\left(2-\sqrt[]{x+4}\right)}^2}>x+6.}\end{array}$   4. Állapítsa meg, hogy az alábbi kifejezések a változók mely értékeinél veszik fel a legnagyobb értéküket. Számítsa ki ezt a legnagyobb értéket. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{a)}\frac{4\sqrt[]{2}+2}{2^{x-1}+2^{2-x}+1};}\\ \hfill {\displaystyle \text{b)}\frac{32}{{\left(3-x+\text{lg}2y\right)}^2+x^4-2x^2+17}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$   5. Egy számtani sorozat differenciája $\frac{1}{2}$. Az első $n$ tag összege $\frac{75}{2}$, az első $n+3$ tag összege 63. Mekkora $n$ értéke, és mennyi a sorozat első tagja?   6. Oldja meg az egész számokból álló számhármasok halmazán a következő egyenletrendszert. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-y^2-z^2}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y+z-x}& {\displaystyle =3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   7. A $k$ kör érinti az $x$ tengelyt, valamint az ${\left(x-17\right)}^2+{\left(y+17\right)}^2=100$ egyenletű kört az $x_0=11$ abszcisszájú pontjában. Írja fel a $k$ kör egyenletét.   8. Az $m$ valós paraméter értékétől függően hány különböző valós gyöke van a következő egyenletnek? $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4+2\left(m^2-5\right)x^2+m^4-10m^2+7}\end{array}$