Kezdőlap


Cím:	Januári szakköri feladatok
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/január, 19. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rédei László professzor úr emlékére4mm

1. Igazolja, hogy ha

a

b

c \in R^{+}

, akkor

\begin{matrix} \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} \geq a + b + c . \end{matrix}

2. a) Igazolja, hogy

\begin{matrix} S_{n} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2^{3} + ... + (3 n - 2) \cdot 2^{n} = 10 + (3 n - 5) \cdot 2^{n + 1} . \end{matrix}

b) Állítsa elő az

\begin{matrix} S_{n}' = 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2^{3} + ... + (3 n - 1) \cdot 2^{n} \end{matrix}

összeget

n

függvényeként.

3. Igazolja, hogy egy háromszög három oldalának hossza,

a

b

és

c

pontosan akkor (akkor és csak akkor) három egymást követő eleme egy számtani sorozatnak, ha

\begin{matrix} a c = 6 r ϱ, \end{matrix}

ahol

r

a háromszög köré,

ϱ

a háromszögbe írható kör sugara.

4. Legyenek

A

B

C

és

D

a sík (tér) tetszőleges pontjai. Igazolja, hogy
a)

\vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{B C} \cdot \vec{A D} + \vec{C A} \cdot \vec{B D} = 0

;
b) ha

A B ⊥ C D

és

A D ⊥ B C

, akkor

C A ⊥ B D

.
c) Legyen

A B C

egy síkbeli háromszög. A b) alapján indokolja, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.