Cím:	A novemberi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1997/december, 525 - 526. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Legyen a húrtrapéz párhuzamos oldalainak hossza $2a$, illetve $2b$ ($a>b$), a szárak hossza $c$, a magasságé $m$. Ha a húrtrapéz egyben érintőtrapéz is, akkor $m=2\varrho$, ahol $\varrho$ a beírható kör sugara, és $c=a+b$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle 4{\varrho }^2={\left(a+b\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2\mathrm{,}m=2\varrho =\sqrt[]{2a\cdot 2b}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát igaz az állítás. Ha $a=b$, akkor triviális az állítás. Ha a húrtrapézban $m^2=2a\cdot 2b$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2=2a\cdot 2b+{\left(a-b\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle c=a+b\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a trapéz érintőnégyszög, hiszen a szemközti oldalak összege ($2a+2b$, illetve $2\left(a+b\right)$) megegyezik. Ha a trapéz téglalap (négyzet), akkor triviális az állítás.   2. Ha $x+y>0$, akkor $\left(x+y\right)$-nal szorozva az első egyenletet $x^2-y^2-\sqrt[]{x^2-y^2}-12=0$, ahonnan $\sqrt[]{x^2-y^2}=4$, hiszen $\sqrt[]{x^2-y^2}\ge 0$. Így $x^2-y^2=16$, és $xy=-15$. Helyettesítő módszerrel $x_1=5$, $y_1=-3$ vagy $x_2=-5$, $y_2=3$ adódik. Az $x_1=5$, $y_1=-3$ számpár megoldás, a másik nem. Ha $x+y<0$, akkor $x^2-y^2+\sqrt[]{x^2-y^2}-12=0$, ahonnan $\sqrt[]{x^2-y^2}=3$, így $x^2-y^2=9$ és $xy=-15$, majd $x^4-9x^2-225=0$, $x^2=\frac{1}{2}\left(9+3\sqrt[]{109}\right)$. Az $x_3=-\sqrt[]{\frac{1}{2}\left(9+3\sqrt[]{109}\right)}$, $y_3=\sqrt[]{\frac{1}{2}\left(3\sqrt[]{109}-9\right)}$ számpár megoldás,  az $x_4=\sqrt[]{\frac{1}{2}\left(9+3\sqrt[]{109}\right)}$, $y_4=-\sqrt[]{\frac{1}{2}\left(3\sqrt[]{109}-9\right)}$ számpár nem.   3. Nyilván $a>0$, $a\ne 1$, $x>0$, $x\ne 1$, $ax>0$, $ax\ne 1$, $a^{2}x>0$ és $a^{2}x\ne 1$. Azonosságok alkalmával az egyenlőtlenség $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{\text{log}{}_{a}x}+\frac{1}{1+\text{log}{}_{a}x}+\frac{3}{2+\text{log}{}_{a}x}>0.}\end{array}$ Legyen $\text{log}{}_{a}x=z$. Azonos átalakításokkal a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{6\left(z+\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{4}{3}\right)}{z\left(z+1\right)\left(z+2\right)}>0}\end{array}$ egyenlőtlenséget kapjuk, amelynek megoldásai: $-2<z<-\frac{4}{3}$ vagy $-1<z<-\frac{1}{2}$ vagy $z>0$. Így $-2<\text{log}{}_{a}x<-\frac{4}{3}$ vagy $-1<\text{log}{}_{a}x<-\frac{1}{2}$ vagy $\text{log}{}_{a}x>0$. Ha $a>1$, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{a^2}<x<\frac{1}{\sqrt[3]{a^4}}\text{vagy}\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt[]{a}}\text{vagy}x>\mathrm{1,}}\end{array}}}\end{array}$ ha $0<a<1$, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a^4}}<x<\frac{1}{a^2}\text{vagy}\frac{1}{\sqrt[]{a}}<x<\frac{1}{a}\text{vagy}0<x<1.}\end{array}}}\end{array}$   4. Az első egyenlet diszkriminánsa $D_1=p_1^2-4q_1$, a másodiké $D_2=p_2^2-4q_2$. A feltétel alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle D_1+D_2=p_1^2+p_2^2-4\left(q_1+q_2\right)=p_1^2+p_2^2-2p_1{p}_2={\left(p_1-p_2\right)}^2\ge 0.}\end{array}$ Mivel a diszkriminánsok összege nemnegatív, azért $D_1$ és $D_2$ közül legalább az egyik nemnegatív, így az egyenletek közül legalább az egyiknek van valós megoldása. Rábai Imre