Cím: A novemberi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1997/december, 525 - 526. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Legyen a húrtrapéz párhuzamos oldalainak hossza 2a, illetve 2b (a>b), a szárak hossza c, a magasságé m.
Ha a húrtrapéz egyben érintőtrapéz is, akkor m=2ϱ, ahol ϱ a beírható kör sugara, és c=a+b. Így
4ϱ2=(a+b)2-(a-b)2,m=2ϱ=2a2b,
tehát igaz az állítás. Ha a=b, akkor triviális az állítás.
Ha a húrtrapézban m2=2a2b, akkor
c2=2a2b+(a-b)2,
tehát
c=a+b,
azaz a trapéz érintőnégyszög, hiszen a szemközti oldalak összege (2a+2b, illetve 2(a+b)) megegyezik. Ha a trapéz téglalap (négyzet), akkor triviális az állítás.
 
2. Ha x+y>0, akkor (x+y)-nal szorozva az első egyenletet x2-y2-x2-y2-12=0, ahonnan x2-y2=4, hiszen x2-y20. Így x2-y2=16, és xy=-15. Helyettesítő módszerrel x1=5, y1=-3 vagy x2=-5, y2=3 adódik. Az x1=5, y1=-3 számpár megoldás, a másik nem.
Ha x+y<0, akkor x2-y2+x2-y2-12=0, ahonnan x2-y2=3, így x2-y2=9 és xy=-15, majd x4-9x2-225=0, x2=12(9+3109).
Az x3=-12(9+3109), y3=12(3109-9) számpár megoldás, 
az x4=12(9+3109), y4=-12(3109-9) számpár nem.
 
3. Nyilván a>0, a1, x>0, x1, ax>0, ax1, a2x>0 és a2x1. Azonosságok alkalmával az egyenlőtlenség
2logax+11+logax+32+logax>0.
Legyen logax=z. Azonos átalakításokkal a
6(z+12)(z+43)z(z+1)(z+2)>0
egyenlőtlenséget kapjuk, amelynek megoldásai: -2<z<-43 vagy -1<z<-12 vagy z>0. Így -2<logax<-43 vagy -1<logax<-12 vagy logax>0.
Ha a>1, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, tehát
1a2<x<1a43vagy1a<x<1avagyx>1,
ha 0<a<1, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, tehát
1a43<x<1a2vagy1a<x<1avagy0<x<1.

 
4. Az első egyenlet diszkriminánsa D1=p12-4q1, a másodiké D2=p22-4q2.
A feltétel alkalmazásával
D1+D2=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20.
Mivel a diszkriminánsok összege nemnegatív, azért D1 és D2 közül legalább az egyik nemnegatív, így az egyenletek közül legalább az egyiknek van valós megoldása.

Rábai Imre