Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a I. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1997/november, 470 - 471. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Legyen a 30-os szöggel szemközti oldal x hosszúságú. Ekkor szinusztétellel x14-x=sin30sin70, x4,86, 14-x=9,14 egység. A 80-os szöggel szemközti oldal szintén szinusztétellel számítható ki, y=9,57 egység. A háromszög területe T=21,87 területegység, a háromszög köré írható kör sugara r=x=4,86 egység, a háromszög beírt körének sugara ϱ=Ts=1,86 egység, ahol s a háromszög kerületének a fele.
 
2. A feltétel szerint a1=30, d=-3 és 8an=Sn-1, azaz
8(30+(n-1)(-3))=n-12(60+(n-2)(-3)),
ahonnan n2-39n+198=0, azaz n=6 vagy n=33.
Így a6=30+5(-3)=15 és a33=30+32(-3)=-66.
 
3. A trapéz magassága m=43sin60=6 egység. A C ponton át az AD-vel párhuzamos egyenes az AB egyenest E pontban metszi. Legyen EB=x. A CEB háromszögben a koszinusztétel alkalmazásával 40=48+x2-243xcos60, ahonnan x2-43x+8=0, x1=23+2, x2=23-2 egység. A feltételeknek két trapéz felel meg, ezekben (AB)1=10+23, (AB)2=6+23 egység, így a területek: T1=54+63, illetve T2=42+63 területegység.
 
4. A második egyenletből y=-4x vagy x-y=-20. Ha y=-4x, akkor 25x5x+5x5x=3, azaz minden 0-tól különböző x szám megoldás, tehát ekkor az x=t, y=-4t, tR{0} számpárok a megoldások.
Ha x-y=-20, akkor 25x-20+-205x=3, ahonnan x1=-4, x2=-1, így y1=16, y2=19. Ez a két számpár is megoldás. (Az (x1,y1) számpár közte van az előbb kapott végtelen sok számpár között.)
 
5. A szinusztétel, majd a sinx-siny=2cosx+y2sinx-y2 és a sinx=2sinx2cosx2 azonosságok alkalmazásával, felhasználva, hogy cosβ+γ20, adódik, hogy
b-ca=sinβ-sinγsinα=2cosβ+γ2sinβ-γ2sin(β+γ)=2cosβ+γ2sinβ-γ22cosβ+γ2sinβ+γ2=sinβ-γ2sinβ+γ2.
(Az állítást geometriai ábra segítségével is igazolhatjuk.)
 
6. Az r=42 egység sugarú körben a 8 egység hosszú húrok a középponttól d=4 egység távolságra vannak. (Ezért az x=0 egyenletű egyenes megoldás.) Minden olyan egyenes egyenlete, amely átmegy az origón, Ax+By=0 alakban írható (A2+B2>0). A kör (4;8) középpontja a keresett egyenestől 4 egység távolságra van, tehát
4=|4A+8B|A2+B2,
amiből A2+B2=|A+2B|,  B(3B+4A)=0.
Ha B=0, akkor A=1 megfelel, így x=0 a keresett egyenes, és a metszéspontok P1(0;4), P2(0;12).
Ha 3B+4A=0, akkor A=3, B=-4 megfelel, a keresett egyenes egyenlete 3x-4y=0, a metszéspontok
P3(165;125),P2(485;365).
(A feladat sokféle módon, így trigonometria alkalmazásával is egyszerűen megoldható. Hogyan?)
 
7. Alkalmazhatjuk a
sin4x=(1-cos2x2)2=14(1-2cos2x+cos22x)
és a
cos4x=(1+cos2x2)2=14(1+2cos2x+cos22x),majdcos22x=1-sin22x
azonosságokat. Rendezés után a sin22x-2sin2x-2-2a=0, azaz a (sin2x-1)2=3+2a egyenletet kapjuk. Ennek akkor van megoldása, ha 03+2a4, azaz ha -32a12.
Ha a=-32, akkor sin2x=1, x=π4+kπ, kZ, ha a=12, akkor sin2x=-1, x=3π4+kπ, kZ.
 
8. Legyen x a P pont távolsága az e egyenestől, ekkor 0x42. Az ABP és a CDP háromszögek hasonlósága folytán DC32=42x-x, azaz DC=3242-xx.
A szóbanforgó két háromszög területének összege
T(x)=1232x+1232(42-x)2x=322(2x+32x)-24,
ahol 0x42. Tudjuk, hogy ha A>0 és B>0, akkor A+B2AB, és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha A=B. Most 2x+32x22x32x=16 és 2x=32x, ha x=4.
Így T32216-24=24(2-1). A legkisebb területösszeg Tmin=24(2-1) területegység, és akkor a P pont x=4 (0<4<42) távolságra van az e egyenestől.

Rábai Imre