Kezdőlap


Cím:	Beszámoló az 1996. évi Hajós György Matematikai Versenyről
Szerző(k):	Scharnitzky Viktor
Füzet:	1996/szeptember, 338 - 339. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1996. évi (sorrendben a tizennyolcadik) Hajós György Matematikai Versenyt a székesfehérvári Kandó Kálmán Műszaki Főiskola rendezte meg 1996. április 12-én és 13-án. A versenyen 13 főiskola, illetve főiskolai kar 4-4 tagú csapata vett részt. A csapatversenyben a sorrendet a legjobban szereplő 3-3 versenyző pontjainak az összege határozta meg.
A 7 tagú versenybizottság, amelynek elnöke Lukács Antal főiskolai tanár volt, a következő feladatokat tűzte ki:

1. Oldjuk meg az egész számokból álló számhármasok halmazán az

\begin{matrix} x^{4} + 4 y^{4} - z = 0 \end{matrix}

egyenletet, ha

z

prímszám. (16 pont)

2. Tekintsünk

20

dobozt. Tudjuk, hogy minden dobozban piros, fehér, kék és zöld golyók vannak elhelyezve. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan doboz, hogy a kettőben együtt mind a négy színből páros számú golyó van. (20 pont)

3. Az

A B C

derékszögű háromszög befogói

A B = B C = 1

. Tekintsük a

C_{1}

C_{2}

...

C_{n - 1}

pontokat úgy, hogy

C C_{1} = C_{1} C_{2} = ... = C_{n - 2} C_{n - 1} = 1

és

C C_{1} ⊥ A C

C_{1} C_{2} ⊥ A C_{1}

...

C_{n - 2} C_{n - 1} ⊥ A C_{n - 2}

. A keletkezett derékszögű háromszögek

A

-nál levő szögei legyenek rendre:

α_{1}

α_{2}

α_{3}

...

α_{n}

. Mutassuk meg, hogy

\begin{matrix} tg α_{1} + tg α_{2} + ... + tg α_{n} \geq ctg α_{n} . \end{matrix}

(20 pont)

4. Oldjuk meg a következő egyenletet, amelyben

a

és

b

pozitív paraméterek.

\begin{matrix} {(x^{3} + a^{3 / 4} x^{9 / 4})}^{1 / 3} + {(a^{3} + a^{9 / 4} x^{3 / 4})}^{1 / 3} = b \end{matrix}

(20 pont)

5. Válasszuk ki egy kocka öt csúcsát. Hányadrésze lehet az általuk meghatározott test térfogata a kockáénak? (24 pont)
A feladatok megoldására 180 perc állt a versenyzők rendelkezésére. A versenyzők minden segédeszközt szabadon használhattak.

A csapatverseny első öt helyezettje

*	1.Széchenyi István Műszaki Főiskola, Győr 272 pont

*	2.Janus Pannonius Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki

*	Főiskolai Kar, Pécs 254 pont

*	3.Miskolci Egyetem Dunaújvárosi Főiskolai Kar, Dunaújváros 230 pont

*	4.Kandó Kálmán Műszaki Főiskola, Budapest 226 pont

*	5.Kossuth Lajos Katonai Műszaki Főiskola, Szentendre 222 pont

Az egyéni verseny első hat helyezettje, akik oklevelet és jutalmat kaptak:

*	1.Somogyi Péter, Széchenyi István Műszaki Főiskola 92 pont

*	2.Zsámboki Ferenc, Széchenyi István Műszaki Főiskola 91 pont

*	3.Szíjártó Miklós, Széchenyi István Műszaki Főiskola 89 pont

*	4.Tóth András, JPTE Pollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar 87 pont

*	5.Szálinger Zoltán, JPTE Pollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar 85 pont

*	6.Scharnitzky Péter, Könnyűipari Műszaki Főiskola 83 pont

Az 1997. évi versenyt előreláthatólag a JPTE Pollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar rendezi meg Pécsett.

Scharnitzky Viktor