Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek IV.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1996/március, 144. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Legyen $a=\text{sin}{}^2{1995}^{\circ }$, $b=\text{cos}{}^2{1995}^{\circ }$. Határozzuk meg a $\text{log}{}_2{\left(ab\right)}^{-\frac{1}{2}}$ pontos értékét.   2. Egy kocka és egy szabályos tetraéder felszíne megegyezik. Számítsuk ki a térfogatuk arányát.   3. Egy tompaszögű háromszög legrövidebb magassága megegyezik a legrövidebb oldalnak a leghosszabb oldalra eső merőleges vetületével. Határozzuk meg a háromszög köré írt kör sugarát a háromszög oldalainak segítségével.   4. A valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=x^2-2x+3$, valamint $g\left(x\right)=x^2-4x+7$ függvények értelmezési tartományából határozzuk meg az összes olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre az $f\left(n\right)$ mértani közép az $n$ és a $g\left(n\right)$ között.   5. Az $a$, $b$, $c$ és $d$  $\frac{1}{3}$-nál nem kisebb valós számok, továbbá $a+b+c+d=2$. Igazoljuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{6a-2}+\sqrt[]{6b-2}+\sqrt[]{6c-2}+\sqrt[]{6d-2}\le 4.}\end{array}$   6. Egy háromszög csúcsainek koordinátái $A\left(5;-2\right)$, $B\left(-3;2\right)$, $C\left(-2;-1\right)$. Határozzuk meg a köré írt kör egyenletét.   7. Hat különböző valós szám egy számtani sorozat hat egymást követő eleme. Az első, a második és a hatodik tag pedig egy mértani sorozat három egymást követő eleme. Határozzuk meg a számtani sorozat első tagjának és különbségének az arányát. A mértani sorozat tizedik eleme hányadik eleme a számtani sorozatnak? Mutassuk meg, hogy a számtani sorozat tartalmazza a mértani sorozat minden elemét!   8. Oldjuk meg a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}{}^{2}x+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}{}^{2}x\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}2x\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}3x-\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}3x+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}2x-6\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}3x\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}2x-6=0.}\end{array}$ Számadó László, Budapest