Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek 1995/3.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1995/március, 142. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{3}{2x-3y+1}+\frac{4}{3x+2y-4}}& {\displaystyle =\frac{13}{42}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{6}{3y-2x-1}-\frac{7}{4-3x-2y}}& {\displaystyle =\frac{-1}{12}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Egy derékszögű háromszög hosszabb befogóját ketté tudjuk vágni úgy, hogy a két darabból, valamint az átfogó és a másik befogó különbségéből, mint átfogóból, ismét derékszögű háromszög készíthető. Fejezzük ki az új derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasságát a régi háromszög oldalainak segítségével.   3. Határozzuk meg az egység oldalú szabályos tizenkétszög köréírt körének sugarát.   4. Legyen $n$ pozitív egész szám. Milyen valós $x$-ekre igaz a következő egyenlet? $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{\text{log}{}_{3^1}x}+\frac{2}{\text{log}{}_{3^2}x}+\text{...}+\frac{2}{\text{log}{}_{3^n}x}=\left(n^2+n\right)\text{log}{}_{x}3.}\end{array}$   5. Számoljuk ki a $K\left(-2;3\right)$ középpontú, $r=5$ egység sugarú kör és az $y=-\frac{41}{4}$ vezéregyenesű, $F\left(-2;-\frac{39}{4}\right)$ fókuszú parabola közös pontjai által határolt sokszög kerületét és területét.   6. Egy számtani sorozat első tíz tagját összeadjuk, aztán a következő ötöt, majd a következő négyet. Az így kapott három szám egy másik számtani sorozat egymást követő tagjai. Határozzuk meg az eredeti sorozat első tagjának és differenciájának a hányadosát.   7. Határozzuk meg a következő egyenlet megoldásainak számát a $p$ paramétertől függően: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-2x+7=px+\left(5-\frac{p^3}{4}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   8. Az $a$ és $b$ pozitív valós számok. Mutassuk meg, hogy minden $n$ természetes szám esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b+2\right)}^{4n}\ge 256n^{3}ab\mathrm{.}}\end{array}$ Számadó László