Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a novemberi szám mérőlapjához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1995/január, 8 - 9. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Az első egyenletből xyx+2y=1, a másodikból xyx-y=4 vagy xyx-y=14 és x+2y0, xy0, x-y0. Ha xy=x+2y és xy=4(x-y), akkor x1=4, y1=2, ha xy=x+2y és 4xy=x-y, akkor x2=-1, y2=13.
 
2. A két kör középpontja és az egyik közös pontja olyan háromszöget határoz meg, amelynek 44 egység hosszú oldalához tartozó magassága a közös húr hosszának a fele. A szóban forgó háromszög három oldala 17, 39 és 44 egység, így kerülete 2s=17+39+44=100 egység, s=50 egység, így területe egyrészt
t=5061133=52311területegység,
másrészt
t=44m2,
tehát 2m11=3011. A közös húr hossza 2m=30 egység.
 
3. Ha a havi törlesztő összeg t forint, akkor
120001,0212-t1,0212-11,02-1=0,
ahonnan
t=120001,02120,021,0212-11134,72Ft.
A havi törlesztő összeg 1135 Ft.
 
4. a) A a+b=a+b egyenlet ekvivalens az a+b=a+2ab+b egyenlettel, ha a0 és b0. Így a=0, b0 vagy a0, b=0 a megoldások.
b) Mivel (x2-4)+(6-2x)=x2-2x+2, azért az előzőket alkalmazva az egyenlet megoldásai: x1=2, x2=-2, x3=3.
 
5. a)
a3-3a2b-ab2+3b3=a2(a-3b)-b2(a-3b)==(a2-b2)(a-3b)=(a-b)(a+b)(a-3b).

b1) Az előzőt alkalmazva (3x=a, 2x=b), (3x-2x)(3x+2x)(3x-32x)=0, x1=0, x2=log323.
b2) (sinx-cosx)(sinx+cosx)(sinx-3cosx)=0

x1,k=45+k180,  x2,k=135+k180,  x3,k=71,57+k180, kZ.
 
6. Az adott két egyenes párhuzamos, távolságuk a keresett kör átmérője. Most 2r=45, r=25. A keresett kör középpontja rajta van a két egyenes középpárhuzamos egyenesén, amelynek egyenlete y=2x+4. A keresett kör érinti az x-tengelyt, így ha középpontja C(u;v), akkor egyrészt v=2u+4, másrészt r2=v2 miatt v2=20, ezért u1=5-2, v1=25, illetve u2=-5-2, v=-25. A keresett körök egyenlete:
(x+2-5)2+(y-25)2=20,illetve(x+2+5)2+(y+25)2=20.

 
7. A hatszög két szomszédos oldala AB=2, BC=x egység (x2). Az AOC=120, ahol O a kör középpontja. A rövidebb AC ívhez tartozó középponti szög tehát 120, a hozzá tartozó kerületi szög 60, így ABC=180-60=120. Az AOC háromszögben AC=213sin60=39 egység. Az ABC háromszögben alkalmazhatjuk a koszinusztételt:
39=x2+4-22xcos120,x2+2x-35=0.
Mivel x>0, azért x=5. A hiányzó három oldal hossza 5 egység.
 
8. A feltételek: a1+a2=p, a2a1=q, tehát a10 és 2a1+d=p és a1+d=a1q, azaz:
2a1+d=p,a1(1-q)+d=0.}
Vonjuk ki az előbbi egyenletből az utóbbit: a1(1+q)=p.
Ha q=-1 és p0, akkor nincs megoldás; ha q=-1 és p=0, akkor a1R{0}, d=-2a1, a3=-3a1; végül ha q-1, akkor pR{0}, a1=pq+1, d=p(q-1)q+1 és  a3=2pq-pq+1.
Rábai Imre