Kezdőlap


Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek 95/I.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1995/január, 7 - 8. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az

A B C

háromszögben

A C = 26

egység, az

A A_{1}

, illetve a

C C_{1}

súlyvonal hossza 36, illetve 15 egység. Számítsa ki a háromszög területét és a

B B_{1}

súlyvonal hosszát.

2. Legyen ‐ a szokott jelölés szerint ‐ egy háromszög három oldala

a

b

és

c

, az oldalakkal szemközti szögek rendre

α

β

γ

. Igazolja, hogy a háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha

\begin{matrix} a b cos γ + b c cos α + c a cos β = d^{2}, \end{matrix}

ahol

d

a

b

, illetve

c

oldalak közül valamelyikkel egyenlő.

3. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán:

3^{x} - 3^{\frac{1}{2} - x} > \sqrt[]{3} - 1

;

\frac{sin^{2} x + \frac{1}{2} sin 2 x}{cos^{2} x} > \sqrt[]{3} (tg x + 1)

4. Egy mértani sorozat második és hatodik elemének szorzata

1

, a harmadik és az ötödik elem különbsége

\frac{3}{2}

. Számítsa ki a sorozat első elemét és hányadosát.

5. Oldja meg a valós számok halmazán a

\begin{matrix} log_{2} (x + 1) + \frac{1}{2} log_{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 1 + log_{2} 3 \end{matrix}

egyenletet.

6. Melyek a síknak azok a pontjai, amelyekből az

{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 36

és az

x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16

egyenletű körökhöz egyaránt

7

egység hosszú érintőszakaszok húzhatók?

7. Oldja meg a valós számpárok halmazán a

\begin{matrix} 2 sin^{2} \frac{y + x^{2}}{4} = 3^{x} + 3^{- x} \end{matrix}

egyenletet.

8. Bizonyítsa be, hogy ha

n

pozitív egész szám, akkor
a) 16 osztója az

5^{n} (4 n - 1) + 1

,
b) 6000 osztója a

(252^{n} - 2^{n}) (n^{4} + 2 n^{3} - n^{2} - 2 n)

kifejezésnek.

Rábai Imre