Kezdőlap


Cím:	Megoldási vázlat az 1990. decemberi gyakorló felvételi feladatokhoz
Füzet:	1991/január, 8 - 9. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Két esetet különböztetünk meg:

\begin{matrix} a) x + 3 ≧ 0; b) x + 3 < 0. \end{matrix}

Az a) esetben egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} (x + 3) \cdot (x + 1) = 0. \end{matrix}

Ennek mindkét megoldása megfelelő:

x_{1} = - 3; x_{2} = - 1.

A b) esetben egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 3 = 0. \end{matrix}

A gyökök:

x_{3} = - 3

és

x_{4} = 1

nem elégítik ki az

x < - 3

feltételt.

2. A termék eredeti ára legyen

x

. Ha ezt

10 %

-kal felemelik, akkor az új ár

1, 1 \cdot x .

Másodszorra

10 %

-kal csökkentik az árat, ezért

1, 1 \cdot x \cdot 0, 9

lesz a következő ár. Végül ismét

10 %

-os áremelés következik. Utána a termék ára:

x \cdot 1, 1 \cdot 0, 9 \cdot 1, 1 = x \cdot 1, 089.

A szóban forgó termék végső ára tehát az eredeti árnak

108, 9

százaléka lesz.

3. Tükrözzük a

B

csúcsot az

A C

oldal

F

felezőpontjára, a tükörkép legyen

B^{'}

. Mivel a

B F A

háromszög egybevágó a

B^{'} F C

háromszöggel, az

A B C

háromszög területe egyenlő a

B C B^{'}

háromszög területével, amelynek oldalai ismertek:

B C = 7, C B^{'} = 3, B B^{'} = 8.

A koszinusztételt a

B^{'} B C

háromszögre alkalmazva:

\begin{matrix} cos φ = \frac{7^{2} + 8^{2} - 3^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{13}{14}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} sin φ = \sqrt[]{1 - cos^{2} φ} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{14} . \end{matrix}

B C B^{'}

háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{8 \cdot 7 \cdot sin φ}{2} = 6 \sqrt[]{3} = 10,39. \end{matrix}

4. A második egyenletből következik, hogy

x > 0, y > 0.

Az első egyenletben közös nevezőre hozva:

\begin{matrix} \frac{x + y}{x y} = x + y . \end{matrix}

Mivel

x + y > 0, x y = 1

adódik. Innen

y = \frac{1}{x} .

Ezt behelyettesítve a második egyenletbe

lg x

-re másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} lg^{2} x - 2 lg x + 1 = 0. \end{matrix}

Ebből

lg x = 1, x = 10,

így

y = \frac{1}{10} .

A keresett valós számpár tehát

x = 10, y = \frac{1}{10},

amely kielégíti az eredeti egyenletrendszert.

5. A feltevés szerint a trapéz szimmetrikus az

O E

egyenesre, így a trapéz egyenlő szárú.

Thalesz tétele miatt a

B F C ∢ = 90^{\circ}

, tehát

B F

A B C

háromszög magassága, ugyanakkor

A F = C F

miatt

B F

súlyvonal is, tehát az

A B C

háromszög egyenlő szárú:

B A = B C .

Mivel

B C = 2 B O

és

B O = B H

a kör sugara, ezért az

A B H

derékszögű háromszögben az

A B

átfogó kétszerese a

B H

befogónak, így

B A H ∢ = 30^{\circ} .

A trapéz szögei tehát

30^{\circ}

és

150^{\circ} .

6. A

(6; 4)

ponton átmenő egyenesek közül az

x = 6

egyenes nem felel meg a feltételeknek. Az adott ponton áthaladó többi egyenes iránytangensét jelöljük

m

-mel. Az egyenletek:

\begin{matrix} y = m (x - 6) + 4. \end{matrix}

(1)

Ezek az

x + y = 4

egyenletű egyenest az

\begin{matrix} x_{1} = \frac{6 m}{m + 1}, \end{matrix}

x + y = 5

egyenest pedig az

\begin{matrix} x_{2} = \frac{6 m + 1}{m + 1} \end{matrix}

abszcisszájú pontban metszik. A feltétel szerint

| x_{1} - x_{2} | = 2,

azaz

x_{1} - x_{2} = 2,

vagy

x_{2} - x_{1} = 2.

Az első esetben

m = - \frac{3}{2}

, a másodikban

m = - \frac{1}{2}

adódik. A keresett egyenesek egyenlete tehát

(1)

-ből

\begin{matrix} 3 x + 2 y = 26, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} x + 2 y = 14. \end{matrix}

7. A logaritmus értelmezése miatt

x > 4.

Mivel

log_{5} (x - 4) + log_{\frac{1}{5}} (x - 4) = 0,

az egyenlet így alakul:

\begin{matrix} log_{\sqrt[]{5}} (x^{3} - 2) = 4, innen x = 3. \end{matrix}

Az eredeti egyenletnek

3

nem gyöke, így annak nincs gyöke a valós számok körében.

x = 0

-nál is fennáll az egyenlőség, így

\begin{matrix} cos b^{2} - b^{2} - a = 1 - a, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos b^{2} = 1 + b^{2}, \end{matrix}

majd

\begin{matrix} b^{2} = 0 következik . \end{matrix}

b = 0

helyettesítéssel az egyenlet így alakul:

\begin{matrix} cos a x - a cos x = 1 - a . \end{matrix}

Felhasználva az

1 - cos 2 α = 2 sin^{2} α

azonosságot,

\begin{matrix} sin^{2} a \frac{x}{2} = a sin^{2} \frac{x}{2} \end{matrix}

adódik. Ebből

\begin{matrix} a = 0 és a = 1. \end{matrix}

A keresett számpárok:

(0; 0)

és

(1; 0) .