A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Két esetet különböztetünk meg: Az a) esetben egyenletünk így alakul: Ennek mindkét megoldása megfelelő: A b) esetben egyenletünk így alakul: A gyökök: és nem elégítik ki az feltételt. 2. A termék eredeti ára legyen . Ha ezt -kal felemelik, akkor az új ár Másodszorra -kal csökkentik az árat, ezért lesz a következő ár. Végül ismét -os áremelés következik. Utána a termék ára: A szóban forgó termék végső ára tehát az eredeti árnak százaléka lesz. 3. Tükrözzük a csúcsot az oldal felezőpontjára, a tükörkép legyen . Mivel a háromszög egybevágó a háromszöggel, az háromszög területe egyenlő a háromszög területével, amelynek oldalai ismertek:
A koszinusztételt a háromszögre alkalmazva: innen A háromszög területe: 4. A második egyenletből következik, hogy Az első egyenletben közös nevezőre hozva: Mivel adódik. Innen
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe -re másodfokú egyenletet kapunk: Ebből így A keresett valós számpár tehát amely kielégíti az eredeti egyenletrendszert. 5. A feltevés szerint a trapéz szimmetrikus az egyenesre, így a trapéz egyenlő szárú.
Thalesz tétele miatt a , tehát az háromszög magassága, ugyanakkor miatt súlyvonal is, tehát az háromszög egyenlő szárú: Mivel és a kör sugara, ezért az derékszögű háromszögben az átfogó kétszerese a befogónak, így A trapéz szögei tehát és 6. A ponton átmenő egyenesek közül az egyenes nem felel meg a feltételeknek. Az adott ponton áthaladó többi egyenes iránytangensét jelöljük -mel. Az egyenletek: Ezek az egyenletű egyenest az az egyenest pedig az abszcisszájú pontban metszik. A feltétel szerint azaz vagy Az első esetben , a másodikban adódik. A keresett egyenesek egyenlete tehát -ből illetve 7. A logaritmus értelmezése miatt Mivel az egyenlet így alakul: Az eredeti egyenletnek nem gyöke, így annak nincs gyöke a valós számok körében. 8. -nál is fennáll az egyenlőség, így ahonnan majd helyettesítéssel az egyenlet így alakul: Felhasználva az azonosságot, adódik. Ebből A keresett számpárok: és |