Cím: Megoldási vázlat az 1990. decemberi gyakorló felvételi feladatokhoz
Füzet: 1991/január, 8 - 9. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Két esetet különböztetünk meg:
a)x+30;b)x+3<0.

Az a) esetben egyenletünk így alakul:
(x+3)(x+1)=0.

Ennek mindkét megoldása megfelelő: x1=-3;x2=-1.
A b) esetben egyenletünk így alakul:
x2+2x-3=0.

A gyökök: x3=-3 és x4=1 nem elégítik ki az x<-3 feltételt.
 

2. A termék eredeti ára legyen x. Ha ezt 10%-kal felemelik, akkor az új ár 1,1x. Másodszorra 10%-kal csökkentik az árat, ezért 1,1x0,9 lesz a következő ár. Végül ismét 10%-os áremelés következik. Utána a termék ára: x1,10,91,1=x1,089. A szóban forgó termék végső ára tehát az eredeti árnak 108,9 százaléka lesz.
 

3. Tükrözzük a B csúcsot az AC oldal F felezőpontjára, a tükörkép legyen B'. Mivel a BFA háromszög egybevágó a B'FC háromszöggel, az ABC háromszög területe egyenlő a BCB' háromszög területével, amelynek oldalai ismertek: BC=7,CB'=3,BB'=8.
 
 

A koszinusztételt a B'BC háromszögre alkalmazva:
cosφ=72+82-32287=1314,
innen
sinφ=1-cos2φ=3314.

A BCB' háromszög területe:
t=87sinφ2=63=10,39.

4. A második egyenletből következik, hogy x>0,y>0. Az első egyenletben közös nevezőre hozva:
x+yxy=x+y.
Mivel x+y>0,xy=1 adódik. Innen y=1x.

Ezt behelyettesítve a második egyenletbe lgx-re másodfokú egyenletet kapunk:
lg2x-2lgx+1=0.
Ebből lgx=1,x=10, így y=110.
A keresett valós számpár tehát x=10,y=110, amely kielégíti az eredeti egyenletrendszert.
 

5. A feltevés szerint a trapéz szimmetrikus az OE egyenesre, így a trapéz egyenlő szárú.
 
 

Thalesz tétele miatt a BFC=90, tehát BF az ABC háromszög magassága, ugyanakkor AF=CF miatt BF súlyvonal is, tehát az ABC háromszög egyenlő szárú: BA=BC. Mivel BC=2BO és BO=BH a kör sugara, ezért az ABH derékszögű háromszögben az AB átfogó kétszerese a BH befogónak, így BAH=30. A trapéz szögei tehát 30 és 150.
 

6. A (6;4) ponton átmenő egyenesek közül az x=6 egyenes nem felel meg a feltételeknek. Az adott ponton áthaladó többi egyenes iránytangensét jelöljük m-mel. Az egyenletek:
y=m(x-6)+4.(1)

Ezek az x+y=4 egyenletű egyenest az
x1=6mm+1,
az x+y=5 egyenest pedig az
x2=6m+1m+1
abszcisszájú pontban metszik. A feltétel szerint |x1-x2|=2, azaz x1-x2=2, vagy x2-x1=2.
Az első esetben m=-32, a másodikban m=-12 adódik. A keresett egyenesek egyenlete tehát (1)-ből
3x+2y=26,
illetve
x+2y=14.
 

7. A logaritmus értelmezése miatt x>4. Mivel log5(x-4)+log15(x-4)=0, az egyenlet így alakul:
log5(x3-2)=4,innenx=3.

Az eredeti egyenletnek 3 nem gyöke, így annak nincs gyöke a valós számok körében.
 

8. x=0-nál is fennáll az egyenlőség, így
cosb2-b2-a=1-a,
ahonnan
cosb2=1+b2,
majd
b2=0következik.

b=0 helyettesítéssel az egyenlet így alakul:
cosax-acosx=1-a.

Felhasználva az 1-cos2α=2sin2α  azonosságot,
sin2ax2=asin2x2
adódik. Ebből
a=0ésa=1.

A keresett számpárok: (0;0) és (1;0).