Kezdőlap


Cím:	Megoldási vázlatok az 1989. decemberi felvételi gyakorló feladatokhoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1990/január, 9 - 10. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. $log_{2}^{sin 750^{\circ}} (\frac{1}{2})^{- 2} = \sqrt[]{2}$

\begin{matrix} lg (cos0^{\circ}+cos36^{\circ}+...+cos144^{\circ})=lg 1=0 \\ cos^{16} 1990^{\circ} = {(- cos 10^{\circ})}^{16}, azonban 0 < {(- cos 10^{\circ})}^{16} < 1. \end{matrix}

6, 25 %

.
3. A mértani sorozat:

- \frac{1}{q^{2}}, - \frac{2}{q}, - 2.

A számtani sorozat:

- 2, - \frac{2}{q^{2}}, - \frac{q}{2}

A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbségére egy egyenletet írhatunk fel, amiből a

\begin{matrix} (q - 1) (q + 2) = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk.
A három szám

- 2, - 2, - 2

vagy

- 2,1, - 2

4. A feladat értelmezési tartománya:

x < 1

, vagy

3 < x

. Az egyenlet másodfokú, így

a) Ha

log_{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 3

, akkor

\begin{matrix} x^{2} - 4 x - 5 = 0 \\ x_{1} = - 1; x_{2} = 5. \end{matrix}

b) Ha

log_{2} (x^{2} - 4 x + 3) = log_{2} 15

, akkor

\begin{matrix} x^{2} - 4 x - 12 = 0 \\ x_{3} = - 2; x_{4} = 6. \end{matrix}

Mind a négy gyököt tartalmazza az értelmezési tartomány.

x = 0

nyilván nem lehet, így

x^{4} + x^{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} = 4 (1 - 2^{y})

A bal oldal két pozitív szám és reciprokának összege, ezért a bal oldal

≧ 4

, a jobb oldal

< 4

, nincs valós számpár, amely kielégíti az egyenletet.

6. A kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25, \end{matrix}

A paraboláé:

\begin{matrix} y = {(x - 1)}^{2} - 3, \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 16 x - 12 = 0. \end{matrix}

Bontsuk szorzattá (ha van egész zérushely, akkor az 12 osztója):

\begin{matrix} (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0. \end{matrix}

A metszéspontok:

P_{1} (1; - 3), P_{2} (2; - 2), P_{3} (3; 1), P_{4} (- 2; 6)

7. Két olyan háromszögbe, amelynek van közös oldala, nem rajzolhatunk téglalapot, mert ekkor csak ötszög keletkezhetne. Tegyük fel, hogy

P_{7}

A M

egyenes azon pontja, amelyre

P_{6} P_{7} ∥ D M

. Megmutatjuk, hogy

P_{1} \equiv P_{7}

\begin{matrix} \frac{A P_{1}}{P_{1} M} = \frac{B P_{2}}{P_{2} M} = \frac{B P_{2}}{P_{3} P_{4}} = \frac{P_{2} P_{3}}{P_{4} C} = \frac{M P_{4}}{P_{4} C} = \frac{M P_{5}}{P_{5} D} = \frac{P_{7} P_{6}}{P_{5} D} = \frac{A P_{7}}{P_{6} P_{5}} = \frac{A P_{7}}{P_{7} M} . \end{matrix}

8. A mértani és a számtani közép közötti összefüggést felírva

\begin{matrix} (α + β) (β + γ) (γ + α) ≦ {(\frac{α + β + β + γ + γ + α}{3})}^{3} . \end{matrix}

A jobb oldal azonban

{(2 π / 3)}^{3}