Cím: Az 1989. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai
Füzet: 1989/november, 360 - 363. oldal  PDF file
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

1. Egy tompaszögű háromszög oldalainak hosszai egész számok és szorzatuk 225. Mekkorák a háromszög oldalai?
2. Bizonyítsuk be, hogy bármely x számnak a legközelebbi egész számtól való távolsága 12-|{x}-12|. (Ahol {x} jelenti a szám törtrészét, azaz {x}=x-k, ahol k a legnagyobb olyan egész, mely x-nél nem nagyobb.)
3. Bizonyítsuk be, hogy egy r sugarú körbe írt szabályos tizenkétszög átdarabolható olyan téglalapba, melynek oldalai r és 3r.
4. Az 1989 számot különböző természetes számokból akarjuk előállítani, az összeadás és kivonás műveletek kizárólagos alkalmazásával. (Tehát semmilyen más művelet nem alkalmazható, ezeket viszont akárhányszor igénybe vehetjük.) Hány olyan előállítás van, melyben a felhasznált számok számjegyei a 2, 3, 4, 5, 6, 0 számjegyek közül kerülnek ki, és mind a hat számjegy az előállításban pontosan egyszer szerepel?
5. Hányféleképpen tölthettük ki a lottószelvényt, ha az első hatvan számból hat számot a következő módon jelöltünk ki: az elsőnek kijelölt két szám után a harmadik az előző kettő összegének a fele, a negyedik az előző három összegének a fele, az ötödik az előző négy összegének a fele, és végül a hatodik az előző öt összegének a fele?
6. Jelöljük ai-vel az első i pozitív egész szám összegének utolsó számjegyét. Van-e olyan k pozitív egész szám, hogy bármely pozitív n-re an=an+k?
7. Legyen az ABC háromszög A-ból kiinduló súlyvonalának A felöli harmadolópontja H. Szerkesszünk olyan két H-ból kiinduló félegyenest, amelyek az AH szakasszal együtt a háromszöget három egyenlő területű részre osztják.
8. A-ból B-be a folyó folyásával szemben elindul egy hajó, ugyanakkor pedig B-ből A-ba egy csónak, amely útjának 4/11 részét megtéve találkozik a hajóval. A hajó B-ből azonnal visszafordul, és a csónakkal egy időben érkezik A-ba. Ha a csónak sebessége (álló vízben) háromszor akkora volna, akkor 1 óra 42 perccel hamarabb érne A-ba, mint a hajó. Mennyi idő alatt ér a csónak B-ből A-ba (eredeti sebességével)?
 

Haladók (II. osztályosok)
 

1. Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyre az
f(x)=2x-xx-2x-2+1
függvény értelmezhető.
2. Van-e olyan háromszög, melynek két oldala 1 és 4 cm, valamely két magassága pedig 3 és 4 cm hosszú?
3. Hány téglalap jelölhető ki a rajzon látható 4×10-es rács vonalaival?
 
 

4. A p prímszám (a tízes számrendszerben felírva) páros sok jegyet tartalmaz. Ha a p számot fordított sorrendben írjuk fel, visszakapjuk saját magát. Határozzuk meg p-t.
5. Az ABC derékszögű háromszögbe írt négyzet két csúcsa az AB átfogón, másik két csúcsa pedig a befogókon van. Mekkora a befogók aránya, ha a négyzet K középpontjára igaz, hogy
CAB=ABK?

6. Legyenek x és y valós számok. Tudjuk, hogy az x+y, x-y, xy, xy számok egyike sem 0 és közülük három racionális. Mutassuk meg, hogy x és y racionális számok.
7. Tetszőleges számú egységnyi, illetve két egységnyi oldalú négyzet áll rendelkezésünkre. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható 1987 darab úgy, hogy belőlük ki lehessen rakni egy négyzetet (hézagtalanul és egyrétűen); viszont bárhogyan is választunk ki 1988 darabot, azokból sohasem állítható elő négyzet.
8. Az a, b, c valós számok olyanok, hogy |ax2+bc+c|1, ha |x|1. Mutassuk meg, hogy |x|1 esetén |cx2-bx+a|4 is teljesül.
 

II. forduló
 

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

A szakközépiskolások feladatai
 

1. Ábrázolja a számegyenesen a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az
x2+1|x-3|1és az1x+1>0
egyenlőtlenségek egyszerre teljesülnek.
2. Adott három egységnégyzet az alábbi elrendezéssel:
HGFE
   
ABCD
 


Bizonyítsuk be (közelítő értékek felhasználása nélkül!), hogy FAD+EAD=45!
3. Mely egyjegyű M pozitív egészekre osztható 5-tel az 1989M+M1989?
 

Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. Mely egyjegyű M pozitív egészekre osztható 5-tel az 1989M+M1989?
2. Az f egyenes az ABC háromszög AB oldalát P-ben, AC oldalát Q-ban metszi és a háromszöget két egyenlő területű részre osztja. Bizonyítsuk be, hogy
PA+AQBP+PQ+QC+CB>14.

3. 10 csapat körmérkőzést játszik. Mindegyik pár pontosan egyszer mérkőzik, és a mérkőzések nem végződhetnek döntetlenül. Győzelemért egy pont jár, vereségért 0. Bizonyítsuk be, hogy a pontszámok négyzetösszege nem lehet több 285-nél.
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. Az f egyenes az ABC háromszög AB oldalát P-ben, AC oldalát Q-ban metszi és a háromszöget két egyenlő területű részre osztja. Bizonyítsuk be, hogy
PA+AQBP+PQ+QC+CB>14.

2. Egy négyzet négy csúcsába gyufákat helyezünk. Kezdetben az egyik csúcsán van egy gyufa, a többinél nincs egy sem. Egy lépésben elvehetünk egy csúcsból valahány gyufát, és az egyik szomszédos csúcsba teszünk kétszer annyit, mint amennyit elvettünk. El lehet-e érni ilyen lépések sorozatával, hogy a csúcsoknál ‐ valamilyen körüljárási irányban ‐ rendre 1,9,8,9 gyufa legyen?
3. Jelöljük a tízes számrendszerben legfeljebb n-jegyű természetes számok számát S-sel, Sk-val pedig ezek közül azoknak a számát, melyekre a számjegyek összege k-nál kisebb. Mely n-ekre létezik olyan k természetes szám, hogy S=2Sk?
 

Haladók (II. osztályosok)
 

A szakközépiskolások feladatai
 

1. Legyen f(x)=x1989, (x valós szám). Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív x1 és x2-re:
f(x1+x2)f(4x1x2)
teljesül.
2. Az ABCD tetraéder A csúcsából induló három él hosszának összege 3, és az élek páronként merőlegesek egymásra. Az ebben a csúcsban találkozó három lap területének összege 12 területegység. Mekkora a tetraéder térfogata?
3. Az ABCD paralelogrammában BD=AB=CD. Legyen "k'' az a kör, amely a BD átlót B, a CD oldalt C pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy az AC átló által k-ból kimetszett M pont rajta van az ABD háromszög köré írt körén.
 

Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. Egy trapéz két szomszédos szögének összege 90, párhuzamos oldalainak hossza a és b. Bizonyítsuk be, hogy a párhuzamos oldalak felezőpontját összekötő szakasz hossza 12|a-b|.
2. Egy szám négy prímszám szorzata. Melyik ez a szám, ha tudjuk, hogy a négy prímszám négyzetösszege 476?
3. Az origó középpontú R sugarú kör kerületén pontosan 100 olyan pont van, melynek mindkét koordinátája egész szám. Bizonyítsuk be, hogy R vagy R2 egész szám.
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. Melyek azok a természetes számok, amelyek másfélszer akkorák, mint számjegyeik szorzata?
2. Egy derékszögű háromszög két befogója 1 és 3 egység hosszú. A háromszögben adott 25 pont. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a pontok közül három, amelyek lefedhetők egy 13 átmérőjű félkörlappal.
(A félkörlaphoz a határát is hozzáértjük.)
3. Egy levélre n forint értékű bélyeget kell ragasztani (n pozitív egész szám). Van k darab egész névértékű bélyegünk, összértékük 2k forintnál kevesebb, de legalább n. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható néhány bélyeg, amelyek összértéke pontosan n.