Kezdőlap


Cím:	A műszaki főiskolák 1988-89. tanévi Hajós György Matematikai Tanulmányi Versenye
Szerző(k):	Dr. Scharnitzky Viktor
Füzet:	1989/szeptember, 251. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1988/89. tanévi Hajós György Matematikai Tanulmányi Versenyt a Kilián György Repülő Műszaki Főiskola rendezte meg Szolnokon 1989. április 7-én és 8-án.
Az idei, sorrendben tizenötödik versenyen 16 főiskola egy-egy csapata vett részt összesen 62 versenyzővel.
Az öttagú versenybizottság, amelynek elnöke az idén dr. Csató Sándor főiskolai adjunktus volt, a következő feladatokat tűzte ki:

1. Legyen

f (x) = a x + b

, ahol

a, b

valós szám. Mutassa meg, hogy az

\begin{matrix} | f (0) - 1 |, | f (1) - 3 |, | f (2) - 9 | \end{matrix}

számok mindegyike nem lehet kisebb

1

-nél!

2. Határozza meg a következő sorozat határértékét:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{n \cdot 1 + (n - 1) \cdot 2 + (n - 2) \cdot 3 + ... + 1 \cdot n}{n^{3}} . \end{matrix}

3. Bizonyítsa be, hogy ha

x

egész;

p, m, n

pozitív egész, akkor

x^{2} + x + 1

osztója az

\begin{matrix} x^{3 p} + x^{3 m + 1} + x^{3 n + 2} \end{matrix}

számnak!
4. Tekintsünk egy

r

sugarú gömbbe írt, a gömb középpontjára szimmetrikus testet. Vegyük az összes olyan szakaszt, amely a test valamelyik két csúcsát összeköti. Bizonyítsa be, hogy ezen szakaszok négyzeteinek összege

k^{2} \cdot r^{2}

, ahol

k

a test csúcsainak száma!

5. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \frac{2 x^{2}}{1 + x^{2}} = y; \frac{2 y^{2}}{1 + y^{2}} = z; \frac{2 z^{2}}{1 + z^{2}} = x . \end{matrix}

*

A csapatverseny első három helyezettje:

1. Kandó Kálmán Villamosipari Műszaki Főiskola, Székesfehérvár,
2. MN Zalka Máté Katonai Műszaki Főiskola, Budapest,
3. Széchenyi István Közlekedési és Távközlési Műszaki Főiskola, Győr.

Az egyéni verseny első három helyezettje:

1. Nguyen Hong Dau

(MN

Zalka

Máté

Katonai

Műszaki

Főiskola,

Budapest),
2. Horváth Sándor

(Gépipari

és

Automatizálási

Műszaki

Főiskola,

Kecskemét),
3. Pénzes Sándor

(Kandó

Kálmán

Villamosipari

Műszaki

Főiskola,

Székesfehérvár).