Cím: Egyetemi felvételire gyakorló feladatok - 1989. - II.
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1989/október, 293. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Igazolja, hogy ha egy háromszög BC=a oldalával szemközti szög 150, akkor
b2+c2=r2-4t3,
ahol b,c a háromszög másik két oldala, r a háromszög köré írt kör sugara, t pedig a háromszög területe.
 

2. Tekintsük az f(x)=(x-1)2+(x-2)2+...+(x-n)2 függvényt, ahol nN+. Mely helyen veszi fel a függvény a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték ?
 

3. Igazolja, hogy ha a0,b0, akkor
12(a+b)2+14(a+b)ab+ba.
Mikor egyenlő a két kifejezés ?
 

4. Az ABC háromszög oldalai AB=13;BC=20;CA=21 egység. Számítsa ki a BC oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát.
 

5. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek az e (egyenlete: x-y=2) és az f (egyenlete: x+2y=14) egyenesek közé eső szakaszát a P(2;1) pont az e egyenestől számítva 1:2 arányban osztja !
 

6. Egy négyzetes oszlop alapéle a, magassága m (térfogatát jelölje V1); egy szabályos három oldalú gúla alapéle b, magassága m (térfogatát jelölje V2).
a) Mekkora a ba arány, ha V1=3V2 ?
b) Mekkora az ma arány, ha V1=3V2 és a négyzetes oszlop palástfelszíne egyenlő a gúla palástfelszínével (oldallapjai területének összegével) ?
 

7. Oldja meg a log31x2+3logx19-8 egyenlőtlenséget !
 

8. Mely α-ra van pontosan egy valós gyöke az x2+2xcosα+(1sinα+22)=0 egyenletnek ?