Kezdőlap


Cím:	A múlt havi (1989. január) mérőlap feladatok megoldásának vázlata
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1989/február, 65 - 66. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A trapéz magassága $m = \frac{4 \sqrt[]{2}}{3}$ egység, területe $t = \frac{10 \sqrt[]{2}}{3}$ területegység.

2. Mérjük fel a

C B

szakasz

B

-n túli meghosszabbítására a

B D = B A

szakaszt.

Az

A B C

háromszög hasonló a

D A C

háromszöghöz, így

\frac{A B + 4}{6} = \frac{6}{4}, A B = 5

egység. A feladat trigonometria alkalmazásával is megoldható.

3. Az egyenlet

D

diszkriminánsa,

D = {(3 m + 14)}^{2} ≧ 0, x_{1} = 2 m + 6, x_{2} = \frac{m}{2} - 1

. Mindkét gyök

- 5 ≦ m ≦ \frac{9}{2}

esetén esik a

[- 4; - 3]

intervallumba, és

m = - \frac{14}{3}

esetén egyenlők a gyökök.

\begin{matrix} a) \frac{5 π}{12} + k π < x < \frac{13 π}{12} + k π; k \in Z; \end{matrix}

\begin{matrix} b) - \frac{π}{8} + \frac{n π}{2} < x < \frac{π}{4} + \frac{n π}{2}; n \in Z. \end{matrix}

5. A

C

csúcs az

A

középpontú,

r = 5 \sqrt[]{2}

sugarú kör (egyenlete:

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 20)

és az

x - y = 1

egyenletű egyenes metszéspontja.

C_{1} (7; 6)

C_{2} (- 3; - 4)

. A

C_{1} B_{1} (3 x + y = 27)

és az

A B_{1} (x - 3 y = - 1)

metszéspontja

B_{1} (8; 3)

, így

D_{1} (1; 4)

, a

C_{2} B_{2} (3 x + y = - 13)

és az

A B

metszéspontja

B_{2} (- 4; - 1)

, így

D_{2} (3; - 2)

. Dolgozhatunk paraméter alkalmazásával is.

6. Belátható, hogy

x > 0

y > 0

esetén

\begin{matrix} x^{log_{4} y} = y^{log_{4} x} . \end{matrix}

Így

2 x^{log_{4} y} = 4

, amiből

log_{2} x \cdot log_{2} y = 2

. Mivel

log_{2} x - log_{2} y = 1

, ezért

log_{2} x = 2

, vagy

log_{2} x = - 1

. Az egyenletrendszer megoldásai:

x_{1} = 4

y_{1} = 2

, vagy

x_{2} = \frac{1}{2}

y_{2} = \frac{1}{4}

7. Ha

p < 0

, akkor az egyenletnek nincs megoldása. (Vegyük figyelembe, hogy

x^{2} = | x |^{2}

.)
Ha

p = 0 (4 | x | - | x |^{2} = 0)

, akkor az egyenletnek három megoldása van,

x_{1} = 0

x_{2} = 4

x_{3} = - 4

.
Ha

p > 0

, akkor

| x |^{2} - 4 | x | + p^{2} = 0

. Most

D = 4 - p^{2}

.
Ha

p > 2

, akkor az egyenletnek nincs megoldása, ha

p = 0

, akkor az egyenletnek két megoldása van,

x_{4} = - 2

x_{5} = 2

, ha

0 < p < 2

, akkor az egyenletnek négy megoldása van,

x_{6,7} = 2 \pm \sqrt[]{4 - p^{2}}, x_{8,9} = - 2 \pm \sqrt[]{4 - p^{2}}

8. Az egyenlet

(x - 1) (y + 3) = 17

alakban is írható. A 17 prím, tehát

17 = 1 \cdot 17 = = (- 1) (- 17)

, ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} x - 1 = 1, \\ y - 3 = 17, \end{matrix}} vagy \begin{matrix} x - 1 = 17, \\ y + 3 = 1, \end{matrix}} vagy \begin{matrix} x - 1 = - 1, \\ y + 3 = - 17, \end{matrix}} vagy \begin{matrix} x - 1 = - 17 \\ y + 3 = - 1. \end{matrix} \end{matrix}

A megoldások:

x_{1} = 2

y_{1} = 14

x_{2} = 18

y_{2} = - 2

x_{3} = 0

y_{3} = - 20

x_{4} = - 16

y_{4} = - 4