Cím: A múlt havi (1989. január) mérőlap feladatok megoldásának vázlata
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1989/február, 65 - 66. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. A trapéz magassága m=423 egység, területe t=1023 területegység.
 

2. Mérjük fel a CB szakasz B-n túli meghosszabbítására a BD=BA szakaszt.

Az ABC háromszög hasonló a DAC háromszöghöz, így AB+46=64,AB=5 egység. A feladat trigonometria alkalmazásával is megoldható.
 

3. Az egyenlet D diszkriminánsa, D=(3m+14)20,x1=2m+6,x2=m2-1. Mindkét gyök -5m92 esetén esik a [-4;-3] intervallumba, és m=-143 esetén egyenlők a gyökök.
 

4.
a)5π12+kπ<x<13π12+kπ;kZ;
  b) -π8+nπ2<x<π4+nπ2; n
Z.  



5. A C csúcs az A középpontú, r=52 sugarú kör (egyenlete: (x-2)2+(y-1)2=20) és az x-y=1 egyenletű egyenes metszéspontja. C1(7;6), C2(-3;-4). A C1B1(3x+y=27) és az AB1(x-3y=-1) metszéspontja B1(8;3), így D1(1;4), a C2B2(3x+y=-13) és az AB metszéspontja B2(-4;-1), így D2(3;-2). Dolgozhatunk paraméter alkalmazásával is.
 

6. Belátható, hogy x>0, y>0 esetén
xlog4y=ylog4x.
Így 2xlog4y=4, amiből log2y=2. Mivel log2x-log2y=1, ezért log2x=2, vagy log2x=-1. Az egyenletrendszer megoldásai: x1=4, y1=2, vagy x2=12, y2=14.
 

7. Ha p<0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. (Vegyük figyelembe, hogy x2=|x|2.)
Ha p=0(4|x|-|x|2=0), akkor az egyenletnek három megoldása van, x1=0, x2=4, x3=-4.
Ha p>0, akkor |x|2-4|x|+p2=0. Most D=4-p2.
Ha p>2, akkor az egyenletnek nincs megoldása, ha p=0, akkor az egyenletnek két megoldása van, x4=-2, x5=2, ha 0<p<2, akkor az egyenletnek négy megoldása van, x6,7=2±4-p2,x8,9=-2±4-p2.
 

8. Az egyenlet (x-1)(y+3)=17 alakban is írható. A 17 prím, tehát 17=117==(-1)(-17), ezért
x-1=1,y-3=17,} vagy  x-1=17,y+3=1,} vagy  x-1=-1,y+3=-17,} vagy  x-1=-17y+3=-1.
A megoldások: x1=2, y1=14, x2=18, y2=-2, x3=0, y3=-20, x4=-16, y4=-4.