Kezdőlap


Cím:	Mérőlap felvételire - 1989. - IV.
Szerző(k):	Csarkó Tibor
Füzet:	1989/február, 64 - 65. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Adott a következő kifejezés:

\begin{matrix} F (x, y) = \frac{x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - x - y^{3} + y}{x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x - y^{3} - y} . \end{matrix}

a) Egyszerűsítse

F (x, y)

-t.
b) Mutassa meg, hogy ha

x = \frac{k (1 - z^{2})}{1 + z^{2}}

és

y = \frac{2 + z}{1 + z^{2}}

, akkor

F (x, y)

nem függ

z

-től!
2. Az

m

valós paraméter milyen értékére lesz a következő egyenletrendszer megoldható?

\begin{matrix} 3 x + y = 2, \\ x + 2 y = m + 8, \\ (m - 4) x + y = - 10. \end{matrix}

3. Egy

r

sugarú és

m

magasságú egyenes körkúp alakú edény magassága feléig folyadékkal van töltve. Fordítsuk meg a kúpot úgy, hogy a csúcsa legyen lefelé. A csúcstól számítva milyen magasan lesz a folyadék az edényben?
4. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:

\begin{matrix} a) x^{log_{x} {(x - 2)}^{2}} = g; b) x^{log_{x^{2}} (x^{2} - 5)} = 2. \end{matrix}

5. Legyenek

a

b

c

egy mértani sorozat egymásutáni elemei. Igazolja, hogy ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{3} ≦ \frac{a x^{2} + b x + c}{a x^{2} - b x + c} ≦ 3. \end{matrix}

6. Oldja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei kielégítik a következő összefüggéseket:

\begin{matrix} 4 x_{1} x_{2} - 5 (x_{1} + x_{2}) = - 4, és \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{1}{1 + p} . \end{matrix}

Határozza meg a

p

értékét úgy, hogy

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 11

legyen!
7. Oldja meg a következő egyenletet:

\begin{matrix} 3 cos^{2} α + cos 2 α - 2 cos α - sin 2 α - sin α = 0. \end{matrix}

8. Egy derékszög egyik szárán felvesszük az

A

és

B

rögzített pontokat, a másik szárán pedig a változó

L

pontot. A derékszög

O

csúcsának az

L A

, illetve

L B

egyenesre eső vetülete

P

, illetve

Q

.
a) Igazolja, hogy a

P Q

egyenes a derékszög

A B

szárát egy rögzített

M

pontban metszi.
b) Határozza meg, hogy milyen arányban osztja az

M

pont az

A B

szakaszt!