Kezdőlap


Cím:	Írásbeli érettségi - Felvételi feladatok - 1988.
Füzet:	1988/szeptember, 251 - 252. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(Valamennyi felvételiző számára)

1. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 23, \frac{5}{x} - \frac{4}{y} = - 2. \end{matrix}

(9 pont)

2. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

\begin{matrix} {(\frac{3}{4})}^{lg x} + {(\frac{4}{3})}^{lg x} = \frac{25}{12} . \end{matrix}

(11 pont)

3. Egy

t

területű kör köré olyan rombuszt rajzolunk, amelynek egyik szöge

30^{\circ}

-os. Fejezze ki a rombusz területét

t

segítségével! (12 pont)

4. Mely valós

x

-ekre értelmezhetők az alábbi kifejezések:

\begin{matrix} a) \sqrt[]{3 - \sqrt[]{x - 2}}; b) \sqrt[]{x - \sqrt[]{x - 2}}; c) \sqrt[]{1 - {tg}^{2} x} . \end{matrix}

(13 pont)

5. Az

A B C

háromszögben az

A

csúcsnál levő szög a

B

csúcsnál levő szögnek kétszerese, továbbá a

B C

oldal kétszerese egyenlő az

A C

oldal háromszorosával, a háromszög területének mérőszáma pedig a

C

csúcsnál levő szög sinusának 27-szerese. Számítsa ki a háromszög szögeit és oldalait! (13 pont)

A. Gimnazisták számára ajánlott

6. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja az

x

tengelyen van és amely az

x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y - 87 = 0

egyenletű

k_{1}

kört belülről, az

x^{2} + y^{2} - 20 x - 12 y + 111 = 0

egyenletű

k_{2}

kört pedig kívülről érinti! (13 pont)

7. Egy gúla alaplapja négyzet, oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. A gúla magassága

30^{\circ}

-os szöget zár be a gúla oldallapjaival. Írjon a gúlába kockát úgy, hogy a kocka négy csúcsa a gúla alaplapjára illeszkedjék, másik négy csúcsa pedig az oldallapokon helyezkedjék el úgy, hogy a gúla csúcsából kiinduló magasságvonalakra illeszkedjék!
Számítsa ki a gúla és a kocka térfogatának arányát! (14 pont)

8. Legyenek

p

és

q

pozitív egész számok, és

q \geq p

. Bizonyítsa be, hogy

\begin{matrix} \frac{q + \frac{1}{2}}{p - \frac{1}{2}} > \frac{1}{p} + \frac{1}{p + 1} + \frac{1}{p + 2} + ... + \frac{1}{q} . \end{matrix}

(15 pont)

B. Szakközépiskolások számára ajánlott

6. Az

x - 2 = {(y - 1)}^{2}

egyenletű parabola

P_{1}

és

P_{2}

pontjaiból az

A

(2; 1) és

B

(6; 1) pontok által határolt szakasz derékszögben látszik. Mekkora az

A P_{1} B P_{2}

négyszög területe? (13 pont)

7. Egy egyenes körhenger magassága 2, sugara 7. Ebbe a hengerbe olyan négyzetet írunk, amelynek síkja metszi a henger tengelyét. A négyzet csúcsai az alap-, illetve a fedőkör kerületén helyezkednek el. Számítsa ki a négyzet oldalát, továbbá a henger tengelyének a négyzet síkjával bezárt szögét! (14 pont)

8. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{| 1 - 2 x |} \geq 1 + x . \end{matrix}

(15 pont)