Cím:	Műszaki egyetemek és főiskolák felvételi feladatai - 1987.
Füzet:	1987/október, 291 - 292. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Műszaki egyetemek és főiskolák felvételi feladatai matematikából 1987   Valamennyi felvételiző számára 1. Ha $101$ darab, egymást követő páratlan szám összege $12\mathrm{827,}$ akkor mekkora közülük a legkisebb és a legnagyobb? (9 pont) 2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-y^2=\frac{5}{2};xy=\frac{\sqrt[]{6}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (10 pont) 3. A koordináta-rendszer $O$ kezdőpontjának tükörképe az $A\left(5;5\right)$ pontra $O_1\mathrm{,}$ az $O_1$ tükörképe a $B$ pontra $O_2\mathrm{,}$ és $O_2$ tükörképe a $C\left(1;7\right)$ pontra ismét az $O$ kezdőpont. Számítsa ki a $B$ koordinátáit, és bizonyítsa be, hogy az $OABC$ négyszög rombusz! (13 pont) 4. Az $ABC$ hegyesszögű háromszög $AB$ oldala $\mathrm{16,}$ a hozzá tartozó magasság $12.$ A háromszögbe olyan egyenlő szárú derékszögű háromszöget írunk, amelynek átfogója párhuzamos $AB$-vel, derékszögű csúcsa $AB$-n, másik két csúcsa pedig $AC$-n, ill. $BC$-n van. Mekkorák a beírt háromszög oldalai? (13 pont) 5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x+\text{cos}x=\text{sin}2x-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (13 pont) Gimnazisták számára ajánlott 6. Mely $x$ helyeken vesznek fel pozitív értékeket a következő kifejezések: $\begin{array}{c}{\displaystyle a)2^x+2^{-x}-\frac{17}{4};b)2+\text{log}{}_{1/3}\left(5x-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (13 pont) 7. Az $ABCD$ téglalap $AB$ oldala háromszorosa a $BC$ oldalnak. Egy belső $P$ pont távolsága a $B$, $A$, $D$ csúcsoktól rendre $PB=4\sqrt[]{2}$, $PA=\sqrt[]{2}$, $PD=2.$ Mekkora a téglalap területe? (14 pont) 8. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges háromszög esetén a háromszög oldalegyeneseit kívülről érintő kör középpontját a háromszögbe írt kör középpontjával összekötő szakasz felezőpontja a háromszög köré írt körön van. (15 pont) Szakközépiskolások számára ajánlott 6. Bizonyítsa be, hogy ha az $a{x}^2+bx-c=0$ másodfokú egyenletnél a gyökök négyzetének különbsége $\frac{c^2}{a^2}$-tel egyenlő, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle b^4-c^4=4a{b}^{2}c\mathrm{.}}\end{array}$ (13 pont) 7. Egy kocka csúcsait az ábrán látható módon jelöltük meg. Legyen a $TUVW$ lap középpontja $A$, az $UVRQ$ lapé pedig $B$. Az $UV$ él a $PAB$ síkot az $X$ pontban metszi. Mekkora az $\frac{UX}{XV}$ hányados értéke?     (14 pont) 8. Az $x$, $y$, $z$ valós számokra teljesülnek a következő összefüggések: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=z-\mathrm{1,}xy=z^2-7z+10.}\end{array}$ Az $x$, $y$, $z$ mely értékei esetén lesz maximális az $x^2+y^2$ összeg? (15 pont)