Kezdőlap


Cím:	A külföldi egyetemekre pályázók felvételi feladatai - 1987.
Füzet:	1987/szeptember, 250. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Két tört számlálója egyaránt $3$ , nevezőjük összege $13$ . A két tört összege $\frac{39}{40}$ . Melyik ez a két tört ?

2. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} 7^{x + 1} \cdot 2^{y} = 4; \\ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{y} = \frac{4}{y (x - 1)} . \end{matrix}

3. Egy szimmetrikus trapéz átlói merőlegesek egymásra, és két olyan részre osztják egymást, amelyeknek aránya

1 : 7

. Mekkora a trapéz területe, ha kerülete

180 \sqrt[]{2}

4. Két, egymást kívülről érintő kör sugara

R

, illetve

r

, és

R > r

. Adja meg a két kör sugarainak függvényeként a két kör közös belső érintőjének a közös külső érintők közé eső szakaszát !

5. Egy mértani sorozat első, harmadik és ötödik elemének összege

182

, a második és negyedik elem összege a hányados

20

-szorosa. Írja fel a sorozat első öt elemét !

\bar{\underset{̲}{| A |}}

^{$^{*}$} 6. Legyen

A B C

és

D E F

tetszőleges két háromszög. Az

A B C

háromszög súlypontját jelölje

S

, a

D E F

háromszögét

T

. Bizonyítsa be, hogy

\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = 3 \vec{S T} .

7. Oldja meg a valós számok halmazán a

\begin{matrix} log_{| x - 1 |} x \geq 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséget !

8. Van-e a síkon olyan egyenes, amelynek minden

P (x; y)

pontja kielégíti az alábbi egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} x^{4} - 2 x^{2} y + y^{2} - 1 \leq 0 . \end{matrix}

\bar{\underset{̲}{| B |}}

6. Az

A B C D

trapéz

A B

alapja kétszerese a vele párhuzamos

C D

oldalnak és az

A D

szárnak is; a

B C

szár hossza

5

, az

A C

átlóé

12

. Számítsa ki a trapéz területét !

7. Számítsa ki az alábbi egyenlőtlenségeknek

[\frac{π}{4}; π]

intervallumba eső gyökeit:

\begin{matrix} a) \frac{1}{sin^{2} x} \leq \frac{1}{sin 2 x - cos^{2} x}; b) log_{2} sin 2 x < - 1. \end{matrix}

8. Legyen

P

A B C

szabályos háromszög köré írható körnek egy pontja. Bizonyítsa be, hogy a

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}

összeg állandó, és adja meg ennek az állandónak az értékét !

^{$^{*}$}A 6‐8. feladatokban az A jelűek a gimnáziumot végzettek számára ajánlottak, a B jelűek pedig a szakközépiskolát végzettek számára.