Kezdőlap


Cím:	A külföldre pályázók felvételi feladatai - 1986.
Füzet:	1986/november, 360. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

\begin{matrix} lg (36^{5 x} + 792) = lg 16 + lg 63. \end{matrix}

2. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszögének felezője a szemközti oldalt két olyan szakaszra bontja, amelyeknek hosszúsága 1, illetve 2. Mekkorák a háromszög szögei és oldalai?
3. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 3 y + 1} = 2; \sqrt[]{2 x - y + 2} = 7 y - 6. \end{matrix}

4. Az

A B C D

paralelogramma három csúcsának koordinátái:

A (- 3; - 2)

B (2; 0)

C (3; 3)

. A

B

csúcson átmenő és az

A C

átlóra merőleges egyenes a

C D

egyenest

E

-ben metszi. Számítsa ki

E

koordinátáit!
5. Négy szám közül az első három egy mértani sorozatnak, az utolsó három pedig egy számtani sorozatnak egymást követő elemei. Az első és a negyedik szám összege

14

, a második és harmadik összege

12

. Melyek ezek a számok?

□ A

^{$^{*}$} 6. Oldja meg a következő egyenlőtlenségrendszert a valós számok halmazán:

\begin{matrix} x^{2} - 6 x - 7 < 0; sin x > 0. \end{matrix}

7. Legyen

A B C D

és

E F G H

ugyanabban a síkban fekvő két paralelogramma! Bizonyítsa be, hogy az

A E

B F

C G

és

D H

szakaszok felezőpontjai ‐ ha nincsenek egy egyenesen ‐ egy paralelogramma csúcsai!
8. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges

n

pozitív egész számra igaz a következő állítás: ha

a

b

c

olyan egészek, amelyekre

n

osztója

(a + b + c)

-nek és

(a^{2} + b^{2} + c^{2})

-nek, akkor osztója

(a^{4} + b^{4} + c^{4})

-nek is.

□ B

6. Az

A B C

egyenlő szárú háromszögben a

B C

alap hossza 10, az

A

-ból induló magasság 12, az alap felezőpontja

D

. Legyen

M

A C

szár valamely pontja! Számítsa ki az

A M

szakasz hosszát, ha az

A M D B

négyszög húrnégyszög!
7. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \frac{x y}{x + y} = 1 - z; \frac{y z}{y + z} = 2 - x; \frac{z x}{z + x} = 2 - y . \end{matrix}

8. Bizonyítsa be, hogy ha

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

, akkor

\begin{matrix} \frac{sin x}{1 + tg x} \leq \frac{\sqrt[]{2}}{4} . \end{matrix}

^{$^{*}$}A 6‐8. feladatokban az A jelüek a gimnáziumot végzettek számára ajánlottak, a B jelűek pedig a szakközépiskolát végzettek számára.