Kezdőlap


Cím:	Válogatás a Kvant feladataiból (1986. február)
Szerző(k):	Erdős László
Füzet:	1986/február, 77. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alábbiakban néhány feladatot közlünk a Szovjetunióban megjelenő Kvant című folyóiratból. A megoldásokat nem kell beküldeni, azonban velük kapcsolatos bármilyen kérdésre válaszol a szerkesztőség.

\begin{matrix} * \end{matrix}

1. Az

A B C D

négyszög területe

T

. Bizonyítsuk be, hogy az

A B C

B C D

C D A

D A B

háromszögek magasságpontjai ugyancsak

T

területű négyszöget alkotnak.
2. A

k_{1}

és a

k_{2}

körök középpontja

O_{1}

és

O_{2}

, a két körlemeznek nincs közös pontja. Az

O_{1}

-ből a

k_{2}

-höz húzott érintők a

k_{1}

-ből, az

O_{2}

-ből a

k_{1}

-hez húzott érintők pedig a

k_{2}

-ből metszenek ki egy-egy körívet. Bizonyítsuk be, hogy ez a két körív egyenlő hosszú.
3. Adott a térben harminc vektor. Bizonyítsuk be, hogy van köztük kettő, amelyek

45^{\circ}

-nál kisebb szöget zárnak be!
4. Bizonyítsuk be, hogy olyan egybevágó szimmetrikus trapézokból, amelyek alapjai 1 és 3 egységnyiek, magassága pedig 1 egység, nem lehet téglalapot összeállítani.
5. Egy téglalap "laposságának'' a rövidebbik és a hosszabbik oldalának az arányát nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is osztunk fel egy négyzetet téglalapokra, ezek laposságainak összege legalább 1.
6. Lefedhető-e egy végtelen "kockás'' papír

2 \times 1

-es dominókkal úgy, hogy a négyzetrács minden egyenese csak véges sok dominót messen?
7. Egy négyzet alakú papírlapra

n

darab téglalapot rajzoltunk, amelyek oldalai párhuzamosak a négyzet oldalaival. Semelyik két téglalapnak nincs közös belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy ha kivágjuk ezeket a téglalapokat, akkor a négyzet legfeljebb

n + 1

darabra esik szét.
8. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan

n

természetes szám van, amelyre

2^{n}

jegyeinek összege nagyobb, mint

2^{n + 1}

jegyeinek az összege.
9. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

a

b

c

d

valós számokra

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}{4}} ≧ \sqrt[3]{\frac{a b c + b c d + c d a + d a b}{4}} . \end{matrix}

10. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan szigorúan monoton növő, nemnegatív egész értékű

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

...

sorozat, hogy minden

n

m

természetes számra

\begin{matrix} a_{n - m} = a_{n} + a_{m} . \end{matrix}

Válogatta: Erdős László, Budapest