Cím: Válogatás a Kvant feladataiból (1986. február)
Szerző(k):  Erdős László 
Füzet: 1986/február, 77. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

Az alábbiakban néhány feladatot közlünk a Szovjetunióban megjelenő Kvant című folyóiratból. A megoldásokat nem kell beküldeni, azonban velük kapcsolatos bármilyen kérdésre válaszol a szerkesztőség.
*

1. Az ABCD négyszög területe T. Bizonyítsuk be, hogy az ABC, BCD, CDA, DAB háromszögek magasságpontjai ugyancsak T területű négyszöget alkotnak.
2. A k1 és a k2 körök középpontja O1 és O2, a két körlemeznek nincs közös pontja. Az O1-ből a k2-höz húzott érintők a k1-ből, az O2-ből a k1-hez húzott érintők pedig a k2-ből metszenek ki egy-egy körívet. Bizonyítsuk be, hogy ez a két körív egyenlő hosszú.
3. Adott a térben harminc vektor. Bizonyítsuk be, hogy van köztük kettő, amelyek 45-nál kisebb szöget zárnak be!
4. Bizonyítsuk be, hogy olyan egybevágó szimmetrikus trapézokból, amelyek alapjai 1 és 3 egységnyiek, magassága pedig 1 egység, nem lehet téglalapot összeállítani.
5. Egy téglalap "laposságának'' a rövidebbik és a hosszabbik oldalának az arányát nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is osztunk fel egy négyzetet téglalapokra, ezek laposságainak összege legalább 1.
6. Lefedhető-e egy végtelen "kockás'' papír 2×1-es dominókkal úgy, hogy a négyzetrács minden egyenese csak véges sok dominót messen?
7. Egy négyzet alakú papírlapra n darab téglalapot rajzoltunk, amelyek oldalai párhuzamosak a négyzet oldalaival. Semelyik két téglalapnak nincs közös belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy ha kivágjuk ezeket a téglalapokat, akkor a négyzet legfeljebb n+1 darabra esik szét.
8. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n természetes szám van, amelyre 2n jegyeinek összege nagyobb, mint 2n+1 jegyeinek az összege.
9. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c, d valós számokra
a2+b2+c2+d24abc+bcd+cda+dab43.

10. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan szigorúan monoton növő, nemnegatív egész értékű a1,a2,... sorozat, hogy minden n, m természetes számra
an-m=an+am.

Válogatta: Erdős László, Budapest