Cím:	Mérőlapok felvételire - 1983. - II.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1983/január, 2. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mérőlapok felvételire   II.   Az 1983-as évben új felvételi rendszer kezdődik. Ennek egyik lényeges eleme, hogy a gimnáziumokból jelentkezőknek III. és IV. osztályban év végén szerzett matematika, magyar nyelv és irodalom, történelem, idegen nyelv, fizika (biológia, kémia, földrajz, másik idegen nyelv ‐ a tanuló választása szerint) érdemjegyei kerülnek beszámításra. Így a felvételi vizsga összpontszámát a fent említett "hozott pontok'' és a felvételi pontok összege adja. Így a hozott pontok száma maximum 60, a szerezhető (írásbeli és szóbeli együtt) 60, azaz összesen maximum 120 pont. Matematikából közös érettségi‐felvételi írásbeli vizsgák lesznek, ezek 8, fokozatosan nehezedő feladatból állnak. Ehhez hasonló az alábbi feladatsor. Tanácsoljuk a megoldóknak, hogy a megoldást időre végezzék el. A megoldásra és leírásra fordítható idő összesen 180 perc. $\begin{array}{c}{\displaystyle *}\end{array}$ 1. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának hossza 24, szárainak hossza 20 egység. Mekkora a háromszög súlypontjának a háromszög köré írt kör középpontjától mért távolsága?   2. Oldja meg a következő egyenleteket!   a) $\sqrt[]{\frac{x}{1+x}}+\sqrt[]{\frac{1+x}{x}}=\frac{5}{2}$;   b) $\text{ctg}x+\frac{1}{\text{sin}x}=\text{tg}x$;   c) $2\text{log}{}_4\left(4-x\right)=4-\text{log}{}_2\left(-x-2\right)$.   3. Az $ABC$ derékszögű háromszög átfogója $AB=2$ egység. Az $AC$ befogó felezőpontja $B_1$, a $BC$ befogó felezőpontja $A_1$. Mekkora az $A{B}_1{A}_{1}B$ négyszög köré írt kör sugara, ha ez a négyszög húrnégyszög?   4. Tekintsük a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(4x^2-4\left(a-2\right)x+a\right)\left(4x^2-4ax+3a-2\right)=0}\end{array}$ egyenletet. Határozza meg az $a$ valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek minden gyöke valós legyen! 5. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely a $2x+y=19$ egyenletű egyenest a 7 abszcisszájú pontjában érinti és a koordináta‐tengelyekből egyenlő húrokat metsz ki! 6. Egy derékszögű trapéz kerülete 4 egység, hegyesszöge ${45}^{\circ }$. Hogyan kell megválasztani a trapéz magasságát, hogy a trapéz területe maximális legyen? Mekkora a maximális terület?   7. Egy háromszög oldalai: $a$, $b$, $c$. Igazolja, hogy ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\mathrm{,}}\end{array}$ akkor a $b$ oldallal szemközti szög ${60}^{\circ }$! Fogalmazza meg az állítás megfordítását és igazolja azt is!   8. A $k_1$ és $k_2$ körök metszéspontjai $A$ és $B$. A $k_1$ körhöz az $A$ pontban húzott érintő a $k_2$ kört a $C$ pontban, a $k_2$ körhöz a $B$ pontban húzott érintő a $k_1$ kört a $D$ pontban metszi. Igazolja, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A{B}^2=AD\cdot BC\text{és}B{D}^2\cdot BC=A{C}^2\cdot AD!}\end{array}$