Cím: Olimpiai előkészítő feladatok - 1981. - I.
Szerző(k):  Szikszai József 
Füzet: 1981/február, 75 - 76. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olimpiai előkészítő feladatok
 

Ebben a rovatban havonta tíz‐tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk elmondani, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni.
 

1. Igazoljuk, hogy a háromszög oldalai között fennáll a következő egyenlőtlenség:
(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2<a4+b4+c4.

2. Az ABC háromszög beírt, illetve a BC oldalához hozzáírt körének a BC oldalra illeszkedő pontját jelölje E, illetve G. A körök középpontjai O, illetve H, a BC oldal felezőpontja F. Igazoljuk, hogy az FH és EA egyenesek párhuzamosak, az AG és OE egyenesek pedig a beírt körön metszik egymást.
 

3. Tekintsük mindazokat a háromszögeket, melyekben az AC és a BC oldal hossza adott. Válasszuk ki ezek közül azt, amelynek a beírt r sugarú köre a lehető legnagyobb. Igazoljuk, hogy ennek a háromszögnek az oldalegyeneseit érintő körök sugaraira fennáll a következő összefüggés:
r=ra+rb-rc;

4. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB és AC oldala, és tudjuk, hogy a háromszög Euler‐egyenese merőleges a háromszög köré írt kör A pontjához tartozó sugarára.
 

5. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög súlypontjának az AB oldalra vonatkozó tükörképe akkor és csak akkor illeszkedik a háromszög köré írt körére, ha az AB oldal a másik két oldal négyzetes közepe.
 

6. Az ABC háromszög A, illetve B csúcsán átmenő külső szögfelezőjének a BC, illetve AC egyenesre illeszkedő pontját jelölje A', illetve B'. Tekintsük az A'B' szakasz egy P pontjának távolságát a háromszög oldalegyeneseitől. Igazoljuk, hogy az AB egyenestől mért távolság egyenlő a másik két távolság összegével.
 

7. Jelölje a háromszög két oldalát a és b, az általuk bezárt szöget γ, az oldalakhoz tartozó súlyvonalakat sa, sb, ezek hajlásszögét ε. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott
 

a) sa, sb, γ;
b) a, b, ε.
 

8. A háromszög hozzáírt köreinek középpontjait kössük össze a megfelelő oldalak felezőpontjaival. Mutassuk meg, hogy a három egyenes egy ponton megy át.
 

9. Rögzítsük az ABC háromszög A és B csúcsát, és tekintsük azokat a háromszögeket, melyek magasságpontja a háromszög AB oldalával párhuzamos középvonalán van. Mi a C csúcspontok mértani helye?
 

10. Igazoljuk, hogy az alábbi egyenlőtlenség teljesül minden x, y, z valós számra, ahol α, β, γ valamely háromszög szögei:
(x+y+z2)2yzsin2α+zxsin2β+yxsin2γ.