Cím:	Az 1977. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny feladatai
Füzet:	1977/november, 111 - 113. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) részére   1. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Rajzoljuk meg az $ABCD$ négyzet $AB$ oldalára befelé az $ABE$ szabályos háromszöget és a $BC$ oldalára kifelé a $BFC$ szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy $EF=AC$.   3. Bizonyítsuk be, hogy egy természetes szám négyzetét követő természetes szám nem osztható sem 3-mal, sem 7-tel.   4. Szerkesszünk olyan trapézt, melynek magassága 5 cm, átlóinak hossza 6 és 9 cm, a párhuzamos oldalak egyike 3 cm.   5. Ábrázoljuk a következő függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=|5-|x+1|+x|\mathrm{.}}\end{array}$   6. Az első 76 természetes szám összegében akárhánynak az előjelét megváltoztathatjuk. El lehet-e érni, hogy a kapott összeg 1977 legyen?   7. Egy háromszög szögei különbözők, a legkisebb ${18}^{\circ }$. Mindegyik szögét három egyenlő részre osztjuk, az osztó egyenesek egy hatszöget zárnak körül. E hatszög szögei közül kettőt egyenlőnek találunk. Mekkora lehet az eredeti háromszög legnagyobb szöge?   8. Legyenek $A$ és $B$ a $k$ kör belsejében adott különböző pontok. A $k$ kör mely pontjaiból látszik az $AB$ szakasz a legnagyobb szög alatt? (Szerkesztést nem kérünk!)   Haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére   1. Egy $625\times 625$-ös sakktáblán a középső négyzetre szimmetrikusan elhelyezünk 1977 bábut. Bizonyítsuk be, hogy a 313. sorban áll bábu!   2. Szerkesszük meg az egyenlő szárú háromszöget, ha adott a háromszög csúcsszöge, továbbá a beírt kör középpontjának és a magasságpontnak a távolsága.   3. Egy $ABCD$ konvex négyszög $AB$ oldalán levő $P$ pontra $\frac{\overline{AB}}{\overline{PB}}=k$, $CD$ oldalán levő $Q$ pontra pedig $\frac{\overline{CD}}{\overline{QD}}=k$ $\left(k>1\right)$. Mennyi az $ABCD$ és $APCQ$ négyszögek területének aránya?   4. Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a páratlan jegyek száma páros?   5. Megoldható-e az egész számok körében az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2=1977.}\end{array}$ egyenlet?   6. Adjuk meg azokat az $a$ valós számokat, amelyekre fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{4a-1}+\sqrt[]{4a^2-1}=1.}\end{array}$   7. Osztható-e 1977-tel az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1^{1977}+2^{1977}+3^{1977}+\text{...}+{1976}^{1977}+{1977}^{1977}}\end{array}$ összeg?   8. Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magasságvonala, hogy ezek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?   II. forduló   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. $A$ és $B$ ‐ bár az egyik 3 km-rel távolabb lakik a várostól, mint a másik ‐ egyszerre érkeztek a városba, mégpedig $A$ lovas kocsin, $B$ teherautón. A kocsis, ill. a sofőr útközben vette fel őket. $A$ is és $B$ is pontosan egyszerre indult el hazulról gyalog, s mindketten útjuk felét tették meg, amikor a fenti járművekre felültek. $A$ 1,5-szer gyorsabban gyalogolt, mint $B$, viszont az autó, amely $B$-t felvette, 1,5-szer haladt gyorsabban, mint az a lovas kocsi, amelyen $A$ ült. Tudjuk még, hogy a kocsi $2$-szer akkora sebességgel haladt, mint $A$ gyalog. Milyen távol lakik a várostól $A$ és $B$?   2. Egy háromszög két csúcsa rögzített, a harmadik csúcsa pedig úgy mozog a síkon, hogy a háromszög területe sohase legyen nagyobb, mint a bármelyik oldala fölé szerkesztett négyzet területének a fele. A sík mely pontjaiba nem juthat el így a háromszög mozgó csúcsa?   3. Mennyi a $2^{1977}$ és $5^{1977}$ számok számjegyei számának az összege?   B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére   1. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával.   2. Vannak-e olyan $m$ és $n$ pozitív egész számok, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle m^2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1?}\end{array}$   3. Adott a síkon hat körlemez úgy, hogy egyiken sincs rajta a többi öt középpontjának egyike sem. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan pont a síkon, amely mind a hat körlemezen rajta van.   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Legyenek $p$ és $q$ olyan törzsszámok, melyekre $3\leqq p<q$, továbbá $p+1$ és $q+1$ egyaránt oszthatók $4$-gyel. Bizonyítsuk be, hogy $q^2-p^2$ nem lehet négyzetszám.   2. $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{3n}$ $\left(n\ge 1\right)$ természetes számok. Bizonyítsuk be, hogy az $a_i-a_j$ $\left(1\le i<j\le 3n\right)$ különbségek közül legfeljebb $3n^2$ olyan lehet, amely nem osztható $3$-mal.   3. Egy körvonal hat különböző pontja között $15$ húr húzható. Igazoljuk, hogy a kör középpontját ezen húrokra tükrözve, a tükörképek közül legalább $6$ a körvonalra, vagy azon kívülre esik.   Haladók (legfeljebb II. osztályosok versenye)   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-6\right)}^4+{\left(x-4\right)}^4=512.}\end{array}$   2. Igazoljuk, hogy ha hat körlemeznek van közös belső pontja, akkor a hat kör között van olyan, amelyiknek egy másik kör középpontja belső pontja!   3. Egy pozitív egész számokból álló $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1<a_2<a_3<\text{...}<a_n<\text{...}}\end{array}$ sorozat olyan tulajdonságú, hogy bármelyik pozitív egész szám vagy szerepel a sorozatban, vagy előállítható a sorozat két elemének összegeként. Bizonyítsuk be, hogy bármely $n$-re a sorozat $n$-edik eleme legfeljebb $n^2$ lehet!   B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére   1. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával.   2. Igazoljuk, hogy ha az $x$, $y$, $z$ valós számokra teljesülnek az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =\mathrm{9,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy+yz+zx}& {\displaystyle =24.}\hfill \end{array}}$ egyenlőségek, akkor az $x$, $y$, $z$ számok egyike sem lehet $1$-nél kisebb, sem $5$-nél nagyobb.   3. Bizonyítsuk be, hogy $n^{990}+{\left(n+1\right)}^{1977}$ minden $n$ pozitív egész számra osztható $n^2+n+1$-gyel.   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Megegyezik a matematika I. tantervű osztályok 3. feladatával.   2. Mutassuk meg, hogy tetszőleges $p$, $q$ pozitív egész számra $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\sqrt[]{2}-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{4q^2}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Az $ABC$ háromszög $AB$, $BC$, $CA$ oldalaira kifelé rendre az $ARB$, $BPC$, $CQA$ háromszögeket rajzoljuk. Az $ARB$ háromszög $A$-nál és $B$-nél levő szöge ${15}^{\circ }$, a $BPC$ háromszög $B$, illetve $C$ csúcsánál levő szöge ${45}^{\circ }$, illetve ${30}^{\circ }$, végül a $CQA$ háromszög $C$ és $A$ csúcsánál levő szöge rendre ${30}^{\circ }$ és ${45}^{\circ }$. Bizonyítsuk be, hogy a $PR$ és $RQ$ szakaszok egymásra merőlegesek és egyenlő hosszúak!