Cím: Az 1977. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny feladatai
Füzet: 1977/november, 111 - 113. oldal  PDF file
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló
 
Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) részére

 
1. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést:
1a(a-b)(a-c)+1b(b-a)(b-c)+1c(c-a)(c-b).

 
2. Rajzoljuk meg az ABCD négyzet AB oldalára befelé az ABE szabályos háromszöget és a BC oldalára kifelé a BFC szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy EF=AC.
 
3. Bizonyítsuk be, hogy egy természetes szám négyzetét követő természetes szám nem osztható sem 3-mal, sem 7-tel.
 
4. Szerkesszünk olyan trapézt, melynek magassága 5 cm, átlóinak hossza 6 és 9 cm, a párhuzamos oldalak egyike 3 cm.
 
5. Ábrázoljuk a következő függvényt:
y=|5-|x+1|+x|.

 
6. Az első 76 természetes szám összegében akárhánynak az előjelét megváltoztathatjuk. El lehet-e érni, hogy a kapott összeg 1977 legyen?
 
7. Egy háromszög szögei különbözők, a legkisebb 18. Mindegyik szögét három egyenlő részre osztjuk, az osztó egyenesek egy hatszöget zárnak körül. E hatszög szögei közül kettőt egyenlőnek találunk. Mekkora lehet az eredeti háromszög legnagyobb szöge?
 
8. Legyenek A és B a k kör belsejében adott különböző pontok. A k kör mely pontjaiból látszik az AB szakasz a legnagyobb szög alatt? (Szerkesztést nem kérünk!)
 
Haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére

 

1. Egy 625×625-ös sakktáblán a középső négyzetre szimmetrikusan elhelyezünk 1977 bábut. Bizonyítsuk be, hogy a 313. sorban áll bábu!
 
2. Szerkesszük meg az egyenlő szárú háromszöget, ha adott a háromszög csúcsszöge, továbbá a beírt kör középpontjának és a magasságpontnak a távolsága.
 
3. Egy ABCD konvex négyszög AB oldalán levő P pontra AB¯PB¯=k, CD oldalán levő Q pontra pedig CD¯QD¯=k (k>1). Mennyi az ABCD és APCQ négyszögek területének aránya?
 
4. Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a páratlan jegyek száma páros?
 
5. Megoldható-e az egész számok körében az
x2+y2=1977.
egyenlet?
 
6. Adjuk meg azokat az a valós számokat, amelyekre fennáll, hogy
4a-1+4a2-1=1.

 
7. Osztható-e 1977-tel az
11977+21977+31977+...+19761977+19771977
összeg?
 
8. Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magasságvonala, hogy ezek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
 
II. forduló

 
Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye

 
A) Az általános tantervű osztályok részére

 
1. A és B ‐ bár az egyik 3 km-rel távolabb lakik a várostól, mint a másik ‐ egyszerre érkeztek a városba, mégpedig A lovas kocsin, B teherautón. A kocsis, ill. a sofőr útközben vette fel őket. A is és B is pontosan egyszerre indult el hazulról gyalog, s mindketten útjuk felét tették meg, amikor a fenti járművekre felültek. A 1,5-szer gyorsabban gyalogolt, mint B, viszont az autó, amely B-t felvette, 1,5-szer haladt gyorsabban, mint az a lovas kocsi, amelyen A ült. Tudjuk még, hogy a kocsi 2-szer akkora sebességgel haladt, mint A gyalog. Milyen távol lakik a várostól A és B?
 
2. Egy háromszög két csúcsa rögzített, a harmadik csúcsa pedig úgy mozog a síkon, hogy a háromszög területe sohase legyen nagyobb, mint a bármelyik oldala fölé szerkesztett négyzet területének a fele. A sík mely pontjaiba nem juthat el így a háromszög mozgó csúcsa?
 
3. Mennyi a 21977 és 51977 számok számjegyei számának az összege?
 
B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére

 
1. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával.
 
2. Vannak-e olyan m és n pozitív egész számok, amelyekre
m2=n4+2n3+2n2+2n+1?

 
3. Adott a síkon hat körlemez úgy, hogy egyiken sincs rajta a többi öt középpontjának egyike sem. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan pont a síkon, amely mind a hat körlemezen rajta van.
 
C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére

 
1. Legyenek p és q olyan törzsszámok, melyekre 3p<q, továbbá p+1 és q+1 egyaránt oszthatók 4-gyel. Bizonyítsuk be, hogy q2-p2 nem lehet négyzetszám.
 
2. a1,a2,...,a3n (n1) természetes számok. Bizonyítsuk be, hogy az ai-aj (1i<j3n) különbségek közül legfeljebb 3n2 olyan lehet, amely nem osztható 3-mal.
 
3. Egy körvonal hat különböző pontja között 15 húr húzható. Igazoljuk, hogy a kör középpontját ezen húrokra tükrözve, a tükörképek közül legalább 6 a körvonalra, vagy azon kívülre esik.
 
Haladók (legfeljebb II. osztályosok versenye)

 
A) Az általános tantervű osztályok részére

 
1. Oldjuk meg a következő egyenletet:
(x-6)4+(x-4)4=512.

 
2. Igazoljuk, hogy ha hat körlemeznek van közös belső pontja, akkor a hat kör között van olyan, amelyiknek egy másik kör középpontja belső pontja!
 
3. Egy pozitív egész számokból álló
a1<a2<a3<...<an<...
sorozat olyan tulajdonságú, hogy bármelyik pozitív egész szám vagy szerepel a sorozatban, vagy előállítható a sorozat két elemének összegeként. Bizonyítsuk be, hogy bármely n-re a sorozat n-edik eleme legfeljebb n2 lehet!
 
B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére

 
1. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával.
 
2. Igazoljuk, hogy ha az x, y, z valós számokra teljesülnek az
x+y+z=9,xy+yz+zx=24.
egyenlőségek, akkor az x, y, z számok egyike sem lehet 1-nél kisebb, sem 5-nél nagyobb.
 
3. Bizonyítsuk be, hogy n990+(n+1)1977 minden n pozitív egész számra osztható n2+n+1-gyel.
 
C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére

 
1. Megegyezik a matematika I. tantervű osztályok 3. feladatával.
 
2. Mutassuk meg, hogy tetszőleges p, q pozitív egész számra
|2-pq|>14q2.

 
3. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalaira kifelé rendre az ARB, BPC, CQA háromszögeket rajzoljuk. Az ARB háromszög A-nál és B-nél levő szöge 15, a BPC háromszög B, illetve C csúcsánál levő szöge 45, illetve 30, végül a CQA háromszög C és A csúcsánál levő szöge rendre 30 és 45. Bizonyítsuk be, hogy a PR és RQ szakaszok egymásra merőlegesek és egyenlő hosszúak!