Cím: Hol volt a hiba? (Megjegyzés a 2050.-es feladathoz)
Szerző(k):  Tusnády Gábor 
Füzet: 1977/október, 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1976. szeptemberében tűztük ki a következő feladatot. F. 2050. A minden valós számra értelmezett f függvényről tudjuk, hogy minden a<y<b mellett

min(f(a),f(b))<f(x)<max(f(a),f(b))(1)
teljesül. Következik-e ebből, hogy f monoton?
A válasz igen, de mint az az 1977 januárjában közölt megoldásból kiderül, a bizonyítás ‐ legalábbis ha el akarjuk kerülni a hosszadalmas diszkussziót ‐ nem nyilvánvaló. A következő számban (1977. február) egy hibás megoldást közöltünk, amelynek az alapgondolata a következő volt. Válasszuk meg a tetszőleges x1<x2 számokhoz az a, b, c számokat úgy, hogy a<x1<b<x2<c legyen. Akkor ha f(a)<f(b), f(x1)<f(x2), ha pedig f(a)>f(b), f(x1)>f(x2). Kérdésünkre, hogy hol a hiba, Lévai Pál olvasónk többek között a következőt válaszolta:
Hogyan is szól a ,,megoldás''? ,,Legyen x1<x2 egyébként tetszőleges, és a<x1<b<x2<c... Tegyük fel, hogy min (f(a), f(b))=f(a)...''Ez a feltevés helyes lenne, ha a megoldó csak a tetszőleges, de már kiválasztott x1 és x2-höz tartozó a-ra és b-re vonatkoztatná. Ugyanis ez a feltevés valójában csak annyit von maga után, hogy a már kiválasztott x1-re és x2-re f(x1)<f(x2). Azonban nem magától értetődő, nem evidens, tehát bizonyításra szorul, hogy egy másik számpárra, x3-ra és x4-re d<x3<e<x4<g esetén most már min(f(d), f(e))=f(d) is következik a min(f(a), f(b))=f(a) feltevésből. Akkor pedig az esetleges következmény, f(x3)<f(x4) is kétséges, kérdéses. Valójában min(f(a), f(b))=f(a)-ból és a feladat feltételéből tényleg következik min(f(d), f(e))=f(d) s így f(x3)<f(x4) is, azonban éppen ennek belátása a feladat, s ez maradt ki ebből a ,,megoldásból''.
Hasonló magyarázatot küldött Filakovszky Péter olvasónk. Mindkettőjük válasza helyes, a közölt ,,megoldás'' valóban csak azt mutatja meg, hogy tetszőleges x1, x2 mellett vagy f(x1)<f(x2), vagy f(x1)>f(x2), de nem zárja ki annak a lehetőségét, hogy az egyenlőtlenség iránya különböző x1, x2 párokra különböző legyen.