Cím:	Az 1976. évi Arany Dániel Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1976/november, 104 - 106. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. forduló   Kezdők (legföljebb I. osztályosok) részére   1. Az egy-egy cédulára felírt $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{0,}\frac{1}{2}\mathrm{,}\frac{1}{3}\mathrm{,}\frac{1}{4}\mathrm{,}\frac{1}{6}\mathrm{,}\frac{1}{6}\mathrm{,}\frac{1}{12}\mathrm{,}\frac{5}{12}\mathrm{,}\frac{7}{12}}\end{array}$ számoknak egy 3 sorra és 3 oszlopra osztott négyzet $9$ kis mezején való elrendezéseit keressük két esetben, az alábbi követelmények szerint. Az első esetben $a)$ a középső sorban és a középső oszlopban álló 3‐3 szám összege 1 legyen; $b)$ a két szélső sorban, a két szélső oszlopban és a két átló mentén álló 3‐3 szám összege ‐ tehát 6 összeg ‐ egyezzék meg egymással; $c)$ az adott számok közül a két egyező az alsó sorban álljon. A második esetben az $a)$ és a $b)$ követelmény változatlan, a $c)$ helyére pedig $c\text{'})$ lép: $c\text{'})$ az adott számok közül a két egyező a középső sorban álljon. Hány különböző elrendezés felel meg az I. esetben és hány a II. esetben? (Az elrendezés egymás utáni lépéseit indokolni kell!)   2. Bontsuk fel a teljes körívet az egymáshoz csatlakozó $AB$, $BC$, $CD$ és $DA$ ívekre. Bizonyítsuk be, hogy az $AB$ és $CD$ ívek felezőpontját összekötő húr merőleges a $BC$ és $DA$ ívek felezőpontját összekötő húrra!   3. Keressük meg az alábbi egyenlet összes megoldását pozitív egész számokban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x+2y\right)\left(3x+7y\right)=216.}\end{array}$   4. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {1975}^{1975}-{1977}^{1977}+1978}\end{array}$ osztható 1976-tal!   5. Jelöljük az $ABC$ háromszög $A$-ból kiinduló szögfelezőjének a $BC$ oldallal való metszéspontját $A_1$-gyel és ennek az $AB$, valamint $AC$ oldalra való tükörképét $P$-vel, $Q$-val. Húzzunk párhuzamost $P$-n át $AC$-vel, $Q$-n át $AB$-vel és legyen ezek metszéspontja $R$. Végül messe az $A_{1}P$ egyenes $AB$-t $D$-ben, $RQ$-t $F$-ben, az $A_{1}Q$ egyenes $AC$-t $E$-ben, $RP$-t $G$-ben. Milyen idomot határoznak meg a $D$, $E$, $F$, $G$ pontok? Mikor lesz ez az idom téglalap?   6. Írjuk fel a tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek a tizenegyes számrendszerben $a0b$, a kilences számrendszerben pedig $b0a$ alakban írhatók fel.   7. Ismerjük egy háromszög egyik csúcsát és a másik két csúcsból kiinduló szögfelezőinek a szemközti oldalakkal való metszéspontjait. Szerkesszük meg a háromszöget!   8. Bizonyítsuk be, hogy bármely $x$ nemnegatív számra fennáll a következő egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+4x+1>3x^2\mathrm{.}}\end{array}$   Haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére   1. Az $ABCD$ téglalap $AB$ és $BC$ oldalának hossza rendre $a$, illetve $b$ méter, ahol $a<b$. Az $A$ csúcsból $BD$ átlóra merőlegesen húzott egyenes $BC$-t $E$-ben, a $C$-ből $BD$-re merőlegesen húzott egyenes $AD$-t $F$-ben metszi. Mennyi az $AECF$ paralelogramma területe?   2. Oldjuk meg az $x^2+2|x|-x-2=0$ egyenletet.   3. A II/b osztályban matematikadolgozat írásnál az egyik feladat másodfokú egyenlet megoldása volt. Két tanuló, Péter és Pál figyelmetlenül másolt a tábláról, így már hiába oldották meg jól az általuk leírt egyenletet. Péter, aki az egyenlet állandó tagját írta hibásan, az $x_1=1$, $x_2=2$ eredményt kapta. Pálnál az elsőfokú tag együtthatója volt rossz, ő az $x_1=1$, $x_2=-4$ gyököket hozta ki. Mi az eredeti egyenlet helyes megoldása?   4. Határozzuk meg azokat a háromszögeket, amelyek oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$-vel jelölve, az $a^2$, $b^2$, $c^2$ hosszúságú szakaszok egy háromszög oldalait alkotják.   5. Adott szabályos nyolcszöghöz szerkesszünk olyan négyzetet, amelynek csúcsai a nyolcszög kerületén vannak, oldalainak hossza pedig kétszer akkora, mint a nyolcszög valamelyik oldala fölé szerkesztett szabályos háromszög magassága!   6. Egy szám jegyeit tetszőleges módon felcseréljük, majd az így kapott számot hozzáadjuk az eredetihez. Bizonyítsuk be, hogy így nem kaphatunk $999\text{...}9$-et ($999$ db $9$-es)!   7. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3+y^3}& {\displaystyle =1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^4+y^4}& {\displaystyle =1}\hfill \end{array}}$   8. Válasszunk ki az alábbi $10\times 10$-es táblázatból $10$ számot úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból pontosan egy elem szerepeljen. Milyen választás esetén lesz a tíz szám összege a lehető legnagyobb?   II. forduló   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. Egy papírlapra $5$ párhuzamos egyenest rajzoltunk, majd rájuk merőlegesen további 6 egyenest. Két szomszédos egyenes távolsága mind a két irányban ugyanannyi (1 cm). Megjelöljük az egyenesek 30 metszéspontját. Ezek után hányféleképpen rajzolható meg egy olyan új egyenes, amely a megjelölt pontok közül pontosan 3-on megy át? (Vagyis az új egyenesen sem 3-nál több megjelölt pont nem lehet, sem 3-nál kevesebb.)   2. Mely háromszögekre teljesül a következő állítás? Megrajzolva a belső szögfelezők egyeneseit, s tekintve ezeknek a szemközti oldalakkal való metszéspontjait, az ezek által meghatározott új háromszög belső szögfelező egyenesei az eredeti háromszögnek is belső szögfelező egyenesei.   3. Határozzuk meg az összes olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $n^5+1$ osztható $\left(n^3+1\right)$-gyel!   B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére   1. Határozzuk meg a tízes számrendszerben azokat a háromjegyű számokat, amelyek (ugyanazokkal a számjegyekkel ugyanabban a sorrendben felírva) egy nem tízes alapú számrendszerben kétszer akkora számot jelentenek, mint a tízes számrendszerben.   2. Hányféleképpen lehet 3 piros, 3 fehér és 3 zöld golyót ‐ egymás mellé ‐ sorba rakni úgy, hogy bármely két egymás mellé kerülő golyó különböző színű legyen? (Az ugyanolyan színű golyókat nem lehet egymástól megkülönböztetni.)   3. Egy adott $ABC$ háromszöghöz úgy akarjuk megszerkeszteni a köréje írható kör érintőjét az $A$ csúcsban, hogy magát a kört nem szerkesztjük meg. Hogyan lehetséges ez? Egy bizonyos ‐ csupa különböző oldallal bíró ‐ $ABC$ háromszög esetében azt találtuk, hogy $A$, $B$ és $C$ csúcsában így előállított érintők olyan új háromszöget alkotnak, melynek szögei valamilyen sorrendben véve megegyeznek az $ABC$ háromszög szögeivel. Mekkorák az $ABC$ háromszög szögei?   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Legyenek $a$, $b$, $n$ pozitív egész számok és $n\ne 1$. Bizonyítsuk be, hogy $n^a+1$ akkor és csak akkor osztható $n^b+1$-gyel, ha az $a$ páratlan számú többszöröse $b$-nek!   2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy $8\times 8$-as sakktáblán egy tetszőleges mezőt letakarunk, akkor a fennmaradó 63 mező lefedhető 21 darab ‐ egyenként három mezőt letakaró ‐ $L$ alakú idommal.   3. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott a köré írható körének, beírható körének és egyik hozzáírható körének középpontja. (A háromszög hozzáírható körén a háromszög oldalegyeneseit érintő, de a háromszög által nem tartalmazott kört értjük.)   Haladók (legfeljebb II. osztályosok) versenye   A) Az általános tantervű osztályok részére   1. A $p$ paraméter milyen értékeire igaz, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+px+1=0}\end{array}$ egyenlet mindkét gyöke $0$ és $5$ között van?   2. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalán fekvő $C\text{'}$ pontra $\begin{array}{c}{\displaystyle AC\text{'}:C\text{'}B=1:\mathrm{2,}}\end{array}$ $AC$ oldalán levő $B\text{'}$ pontra $\begin{array}{c}{\displaystyle AB\text{'}:B\text{'}C=1:3.}\end{array}$ A $CC\text{'}$ és $BB\text{'}$ szakaszok metszéspontja $M$. Az $A$ és $M$ pontokon átmenő egyenes milyen arányban osztja a $BC$ oldalt?   3. Oldjuk meg az egész számok körében a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{z}}\end{array}$ egyenletet!   B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére   1. Mely $x$, $y$ természetes számokra lehet az $x^2+y$ és $x+y^2$ számok mindegyike négyzetszám?   2. Adott a síkon egy egység kerületű sokszög. Igazoljuk, hogy a sokszög lefedhető $\frac{1}{4}$ sugarú körlappal!   3. Legfeljebb hány 16-nál nem nagyobb különböző pozitív egész számot lehet úgy megadni, hogy közülük akárhogyan választva hármat, azok nem lesznek páronként relatív prímek?   C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére   1. Azonos a matematika I. tantervű osztályok 3. feladatával.   2. Legyenek $a$, $b$ és $c$ pozitív számok. Igazoljuk, hogy $a$, $b$ és $c$ hosszúságú oldalakkal akkor és csak akkor szerkeszthető háromszög, ha igaz a következő egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>a^3+b^3+c^3+4abc\mathrm{.}}\end{array}$   3. Bizonyítsuk be, hogy $\sqrt[64]{1976}$ nem gyöke semmilyen egész együtthatós másodfokú egyenletnek!