Cím: Az 1976. évi Arany Dániel Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1976/november, 104 - 106. oldal  PDF file
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló
 
Kezdők (legföljebb I. osztályosok) részére

 

1. Az egy-egy cédulára felírt
0,12,13,14,16,16,112,512,712
számoknak egy 3 sorra és 3 oszlopra osztott négyzet 9 kis mezején való elrendezéseit keressük két esetben, az alábbi követelmények szerint. Az első esetben
a) a középső sorban és a középső oszlopban álló 3‐3 szám összege 1 legyen;
b) a két szélső sorban, a két szélső oszlopban és a két átló mentén álló 3‐3 szám összege ‐ tehát 6 összeg ‐ egyezzék meg egymással;
c) az adott számok közül a két egyező az alsó sorban álljon. A második esetben az a) és a b) követelmény változatlan, a c) helyére pedig c') lép:
c') az adott számok közül a két egyező a középső sorban álljon.
Hány különböző elrendezés felel meg az I. esetben és hány a II. esetben? (Az elrendezés egymás utáni lépéseit indokolni kell!)
 
2. Bontsuk fel a teljes körívet az egymáshoz csatlakozó AB, BC, CD és DA ívekre. Bizonyítsuk be, hogy az AB és CD ívek felezőpontját összekötő húr merőleges a BC és DA ívek felezőpontját összekötő húrra!
 
3. Keressük meg az alábbi egyenlet összes megoldását pozitív egész számokban:
(x+2y)(3x+7y)=216.

 
4. Bizonyítsuk be, hogy
19751975-19771977+1978
osztható 1976-tal!
 
5. Jelöljük az ABC háromszög A-ból kiinduló szögfelezőjének a BC oldallal való metszéspontját A1-gyel és ennek az AB, valamint AC oldalra való tükörképét P-vel, Q-val. Húzzunk párhuzamost P-n át AC-vel, Q-n át AB-vel és legyen ezek metszéspontja R. Végül messe az A1P egyenes AB-t D-ben, RQ-t F-ben, az A1Q egyenes AC-t E-ben, RP-t G-ben.
Milyen idomot határoznak meg a D, E, F, G pontok? Mikor lesz ez az idom téglalap?
 
6. Írjuk fel a tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek a tizenegyes számrendszerben a0b, a kilences számrendszerben pedig b0a alakban írhatók fel.
 
7. Ismerjük egy háromszög egyik csúcsát és a másik két csúcsból kiinduló szögfelezőinek a szemközti oldalakkal való metszéspontjait.
Szerkesszük meg a háromszöget!
 
8. Bizonyítsuk be, hogy bármely x nemnegatív számra fennáll a következő egyenlőtlenség:
x3+4x+1>3x2.

 

Haladók (legfeljebb II. osztályosok) részére

 
1. Az ABCD téglalap AB és BC oldalának hossza rendre a, illetve b méter, ahol a<b. Az A csúcsból BD átlóra merőlegesen húzott egyenes BC-t E-ben, a C-ből BD-re merőlegesen húzott egyenes AD-t F-ben metszi. Mennyi az AECF paralelogramma területe?
 
2. Oldjuk meg az x2+2|x|-x-2=0 egyenletet.
 
3. A II/b osztályban matematikadolgozat írásnál az egyik feladat másodfokú egyenlet megoldása volt. Két tanuló, Péter és Pál figyelmetlenül másolt a tábláról, így már hiába oldották meg jól az általuk leírt egyenletet. Péter, aki az egyenlet állandó tagját írta hibásan, az x1=1, x2=2 eredményt kapta. Pálnál az elsőfokú tag együtthatója volt rossz, ő az x1=1, x2=-4 gyököket hozta ki.
Mi az eredeti egyenlet helyes megoldása?
 
4. Határozzuk meg azokat a háromszögeket, amelyek oldalainak hosszát a, b, c-vel jelölve, az a2, b2, c2 hosszúságú szakaszok egy háromszög oldalait alkotják.
 
5. Adott szabályos nyolcszöghöz szerkesszünk olyan négyzetet, amelynek csúcsai a nyolcszög kerületén vannak, oldalainak hossza pedig kétszer akkora, mint a nyolcszög valamelyik oldala fölé szerkesztett szabályos háromszög magassága!
 
6. Egy szám jegyeit tetszőleges módon felcseréljük, majd az így kapott számot hozzáadjuk az eredetihez. Bizonyítsuk be, hogy így nem kaphatunk 999...9-et (999 db 9-es)!
 
7. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
x3+y3=1x4+y4=1

 
8. Válasszunk ki az alábbi 10×10-es táblázatból 10 számot úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból pontosan egy elem szerepeljen. Milyen választás esetén lesz a tíz szám összege a lehető legnagyobb?
  1,2,3,...9,10  11,12,13,...19,20‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  ‐  81,82,83,...89,90  91,92,93,...99,100

 

II. forduló
 
Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye
 
A) Az általános tantervű osztályok részére

 
1. Egy papírlapra 5 párhuzamos egyenest rajzoltunk, majd rájuk merőlegesen további 6 egyenest. Két szomszédos egyenes távolsága mind a két irányban ugyanannyi (1 cm). Megjelöljük az egyenesek 30 metszéspontját.
Ezek után hányféleképpen rajzolható meg egy olyan új egyenes, amely a megjelölt pontok közül pontosan 3-on megy át? (Vagyis az új egyenesen sem 3-nál több megjelölt pont nem lehet, sem 3-nál kevesebb.)
 
2. Mely háromszögekre teljesül a következő állítás? Megrajzolva a belső szögfelezők egyeneseit, s tekintve ezeknek a szemközti oldalakkal való metszéspontjait, az ezek által meghatározott új háromszög belső szögfelező egyenesei az eredeti háromszögnek is belső szögfelező egyenesei.
 
3. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre n5+1 osztható (n3+1)-gyel!
 
B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére

 
1. Határozzuk meg a tízes számrendszerben azokat a háromjegyű számokat, amelyek (ugyanazokkal a számjegyekkel ugyanabban a sorrendben felírva) egy nem tízes alapú számrendszerben kétszer akkora számot jelentenek, mint a tízes számrendszerben.
 
2. Hányféleképpen lehet 3 piros, 3 fehér és 3 zöld golyót ‐ egymás mellé ‐ sorba rakni úgy, hogy bármely két egymás mellé kerülő golyó különböző színű legyen? (Az ugyanolyan színű golyókat nem lehet egymástól megkülönböztetni.)
 
3. Egy adott ABC háromszöghöz úgy akarjuk megszerkeszteni a köréje írható kör érintőjét az A csúcsban, hogy magát a kört nem szerkesztjük meg. Hogyan lehetséges ez?
Egy bizonyos ‐ csupa különböző oldallal bíró ‐ ABC háromszög esetében azt találtuk, hogy A, B és C csúcsában így előállított érintők olyan új háromszöget alkotnak, melynek szögei valamilyen sorrendben véve megegyeznek az ABC háromszög szögeivel. Mekkorák az ABC háromszög szögei?
 

C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére

 
1. Legyenek a, b, n pozitív egész számok és n1. Bizonyítsuk be, hogy na+1 akkor és csak akkor osztható nb+1-gyel, ha az a páratlan számú többszöröse b-nek!
 
2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy 8×8-as sakktáblán egy tetszőleges mezőt letakarunk, akkor a fennmaradó 63 mező lefedhető 21 darab ‐ egyenként három mezőt letakaró ‐ L alakú idommal.
 
3. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott a köré írható körének, beírható körének és egyik hozzáírható körének középpontja.
(A háromszög hozzáírható körén a háromszög oldalegyeneseit érintő, de a háromszög által nem tartalmazott kört értjük.)
 

Haladók (legfeljebb II. osztályosok) versenye

 
A) Az általános tantervű osztályok részére

 
1. A p paraméter milyen értékeire igaz, hogy az
x2+px+1=0
egyenlet mindkét gyöke 0 és 5 között van?
 
2. Az ABC háromszög AB oldalán fekvő C' pontra
AC':C'B=1:2,
AC oldalán levő B' pontra
AB':B'C=1:3.
A CC' és BB' szakaszok metszéspontja M. Az A és M pontokon átmenő egyenes milyen arányban osztja a BC oldalt?
 
3. Oldjuk meg az egész számok körében a
x3+y3=z3
egyenletet!
 

B) A szakosított matematika I. tantervű osztályok részére

 
1. Mely x, y természetes számokra lehet az x2+y és x+y2 számok mindegyike négyzetszám?
 
2. Adott a síkon egy egység kerületű sokszög. Igazoljuk, hogy a sokszög lefedhető 14 sugarú körlappal!
 
3. Legfeljebb hány 16-nál nem nagyobb különböző pozitív egész számot lehet úgy megadni, hogy közülük akárhogyan választva hármat, azok nem lesznek páronként relatív prímek?
 

C) A szakosított matematika II. tantervű osztályok részére

 
1. Azonos a matematika I. tantervű osztályok 3. feladatával.
 
2. Legyenek a, b és c pozitív számok. Igazoljuk, hogy a, b és c hosszúságú oldalakkal akkor és csak akkor szerkeszthető háromszög, ha igaz a következő egyenlőtlenség:
(a+b)(b+c)(a+c)>a3+b3+c3+4abc.

 
3. Bizonyítsuk be, hogy 197664 nem gyöke semmilyen egész együtthatós másodfokú egyenletnek!