Cím: Háromszögvonal súlypontjának meghatározása (fordította Márki László)
Szerző(k):  Dr. Schröder, E. 
Füzet: 1976/december, 195 - 201. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Háromszögvonal súlypontjának meghatározása
 
Dozent Dr. E. Schröder, Universität Dresden
 

Az iskolából jól ismert feladat egy háromszög súlypontjának a meghatározása. Ezt úgy végezzük el, hogy berajzoljuk a háromszögbe a súlyvonalakat, ezek egy pontban, a háromszöglap S súlypontjában metszik egymást. A szerkesztést az indokolja, hogy egy háromszögben a csúcsokat a szemben fekvő oldalfelezőpontokkal összekötő szakaszok valóban (mechanikai értelemben is) súlyvonalai a (homogén) háromszöglapnak. Ha ugyanis egy gondolati kísérletben a lapot a háromszög egyik oldalával párhuzamos, keskeny sávokra bontjuk, akkor mindezen sávok felezőpontjai éppen az ehhez az oldalhoz tartozó súlyvonalra esnek.
 

 

Egy síkidom‐lap két súlyvonalának a metszéspontja éppen a lap súlypontja. Ellenőrzésképpen kivághatunk egy kartonra rajzolt háromszöget, majd az S pontjával vízszintesen ráhelyezhetjük egy fölfelé tartott tű hegyére.
Ez a súlypontszerkesztés akkor is helyes, ha háromszögön olyan, három egyenlő tömegű testből álló rendszert értünk, amelyek súlypontjai a háromszög A, B és C csúcspontjaiban helyezkednek el.
 

 

Egészen más meggondolásokra van szükségünk, ha az ABC háromszögben csak a kerület súlypontját akarjuk meghatározni. Ekkor az ABC háromszögvonalról és annak Se súlypontjáról beszélhetünk. Ehhez megközelítően úgy készíthetünk modellt, hogy három egyforma vastag, ugyanabból az anyagból készült fémrudat háromszög alakú keretté hegesztünk össze. Most könnyen látható, hogy azok az egyenesek, amelyek a háromszög egyik csúcsát a szemközti keretoldal felezőpontjával kötik össze, a keretnek általában nem súlyvonalai. Így aztán ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja sem lesz súlypontja a háromszögvonalnak.
I. Egy általános háromszögvonal súlypontjának analitikus megközelítéséhez egy könnyen érthető tétel ajánlkozik. Ez a tétel így szól: Forgassunk meg egy egyszerű, zárt, kettős pont nélküli (azaz önmagát nem metsző) e görbét egy olyan d tengely körül, amely a görbe ε síkjában fekszik, de e-t nem metszi. Az így keletkezett forgásfelület F felszínét megadja az a szorzat, amelyet egyrészt e-nek le ívhosszából, másrészt az e görbe Se súlypontja által egy körülfordulás alatt megtett ls út hosszából kapunk, vagyis
F=lels.(1)

Próbáljuk ki ezt a tételt egy ismert példán!
 

 

1. Legyen az e zárt görbe olyan téglalap, amelynek a kerülete le=2(a+b). (Sokszögek oldalait és azok hosszát a következőkben ugyanúgy jelöljük: a, b, c, d, ... -vel.) A téglalap a hosszúságú oldalának egyikét helyezzük a d forgástengelyre, és forgassuk meg d körül az e téglalapvonalat.
 

 

Így hengerfelületet kapunk. A származtató görbe le ívhossza most 2(a+b). A négyszögvonal súlypontja b2 távolságra van a tengelytől, ezért a súlypont által egy körülfordulás közben leírt út hossza
ls=2πb2=πb.
A keletkezett henger F felszíne (1) szerint
F=lsle=πb2(a+b)=2πab+2πb2.
A fent idézett tétel tehát, amint azt az ember elvárja, az alap- és a fedőlap valamint a henger palástja területének összegét szolgáltatja.
2. Legyen a megforgatandó e görbe olyan körvonal, amely nem metszi az ε síkban fekvő d egyenest. Ha ε-t d körül egyszer körülforgatjuk, akkor e egy tórusznak nevezett gyűrűfelületet ír le. Most ennek a tórusznak a felszínét akarjuk meghatározni.
 

 

Legyen e sugara ϱ, akkor le=2πϱ. Nyilvánvalóan e középpontja egyben az Se súlypontja is az e-nek. Ha Se-nek d-től mért távolsága r, és r>ϱ, akkor az így keletkezett forgásfelület felszíne (1) szerint
F=2πr...2πϱ,
vagyis
F=4π2rϱ.
3. Most térjünk rá a cikk elején kitűzött problémára. Hogy az ABC háromszögvonal Se súlypontját meghatározzuk, helyezzük az a oldalt a d forgástengelyre. Ha a háromszögvonalat megforgatjuk a d tengely körül, akkor olyan forgásfelület keletkezik, amely két, közös alapkörű forgáskúpból áll. Az alapkör sugara éppen a háromszög ha magassága. Eszerint az A csúcs által leírt körvonal hossza
s=2πha.

Amint azt barkácsolás közben már biztosan észrevettük, forgáskúp palástját kiteríthetjük síkba, és ekkor körcikk keletkezik. Ha ennek a körcikknek a sugara r, az íve s hosszú, akkor a körcikk területe
K=12rs.

Ha ezt a képletet a mi két kúpfelületünkre alkalmazzuk, ezek területére
K1=πhabésK2=πhac
adódik. Mivel ha=csinβ=bsinγ, ezt így is írhatjuk:
K1=πbcsinβésK2=πbcsinγ,
az egész forgásfelület felszíne pedig
F=K1+K2=πbc(sinβ+sinγ).(2)
Továbbá ismerjük a megforgatott vonal hosszát:
le=a+b+c.(3)
 

 

Jelöljük ra-val az Se súlypont távolságát az a-ra helyezett d forgástengelytől, akkor az egy körülfordulás alatt az Se által megtett út
ls=2πra.(4)
Ha most a fent idézett tételt alkalmazzuk és eközben figyelembe vesszük (1), (2), (3), (4)-et, a következő egyenletet kapjuk:
πbc(sinβ+sinγ)=2πra(a+b+c).(5)
Itt ra a keresett mennyiség. Fejezzük ki (5)-ből ra-t:
ra=bc(sinβ+sinγ)2(a+b+c).(6)
Ebből az eredményből rögtön leolvashatjuk az Se súlypontnak a másik két háromszögoldaltól mért távolságát is. Ciklikus felcseréléssel
rb=ac(sinα+sinγ)2(a+b+c),(7)rc=ab(sinα+sinβ)2(a+b+c)
adódik.
Ezzel számításunk végére értünk. Mutassuk még meg, hogy az így kapott Se pont általában nem esik egybe a háromszöglap súlypontjával. Annak az általános érvényű állításnak, hogy Se és S azonos, a megcáfolására elegendő egyetlen ellenpéldát találnunk. Tekintsük azt az esetet, amikor a=b=1, c=2.
 

 

Az oldalak ilyen választásával a szögek:
β=45,γ=90.
(6) alkalmazásával azt nyerjük, hogy
ra=1+22(2+2)=24.(8)
Minthogy a háromszög súlyvonalai 1:2 arányban osztják egymást, azért a háromszöglap S súlypontjának az a oldaltól mért távolsága 13. A két súlypont, S és Se tehát nem azonos. Csupán egyenlő oldalú háromszög esetében esik egybe a háromszöglap és a háromszögvonal súlypontja.
Paul Guldin (1577‐1643) svájci matematikus egy művében szerepelt először az a tétel, amelyet itt a háromszögvonal súlypontjának meghatározására használtunk. A szakirodalomban ezt a tételt az első Guldin‐szabálynak nevezik. A bizonyításra itt nem térhetünk ki.
II. Végezetül megmutatjuk, hogyan lehet egy ABC háromszögvonal Se súlypontját megszerkeszteni. Itt az igen fontos, hogy két "súlyvonalat'' lehetőleg egyszerűen meg tudjunk keresni. Most meghatározzuk az a oldal P felezőpontján átmenő sp "súlyvonalat''. Ehhez ajánlkozik, hogy megszerkesztünk még egy Xsp pontot, mégpedig azt, amelyik a b, ill. c oldal Q, ill. R felezőpontját összekötő egyenesen fekszik. E célból rendeljünk a Q ponthoz mb, az R ponthoz mc tömeget úgy, hogy ezek aránya
mb:mc=b:c(9)
legyen. A keresett X pontnak meg kell egyeznie az mb és az mc tömegből álló rendszer súlypontjával. Az emelőszabály szerint ha egy két karú emelő egyensúlyi helyzetben van, akkor az emelőkarok hossza a végpontjukba helyezett tömegekkel fordítottan arányos. Az Xsp pontra tehát a következő aránynak kell teljesülnie:
|RX|:|QX|=mb:mc.(10)
(9) szerint most az Xsp meghatározása egy geometriai feladatra vezethető vissza. (10)-zel ekvivalens ugyanis az
|RX|:|QX|=b:c(11)
feltétel, ez pedig azt sugallja, hogy a wα szögfelezőt használjuk fel a szerkesztéshez. Rajzoljuk be az ABC háromszögbe az α szög wα szögfelezőjét, és jelöljük ennek a szemközti oldallal, ill. a (QR) egyenessel alkotott metszéspontját Z-vel, ill. Y-nal.
 

 

Most alkalmazzuk azt a tételt, amely szerint a szögfelező a szemközti oldalt az őt közrefogó oldalak arányában osztja ketté. Ezt a tételt a mi esetünkre alkalmazva azt kapjuk, hogy
b:c=|CZ|:|BZ|.
Minthogy a (BC) egyenes párhuzamos a (QR) egyenessel, azért alkalmazhatjuk a párhuzamos szelők tételét. Eszerint
|CZ|:|BZ|=|QY|:|RY|,
így
|QY|:|RY|=b:c.(12)
Most a következőt állítjuk: Ha P-n át párhuzamost húzunk wα-val, akkor ez a (QR) egyenest a keresett X pontban metszi; más szóval, ez a P-n átmenő, ωα-val párhuzamos egyenes éppen a háromszögvonal egyik súlyvonala.
Bizonyítás: A szerkesztés szerint
PQXARY.
Ezért
|QX|=|RY|és|QY|=|RX|.
Innen a következő arányt kapjuk:
|QX|:|RY|=|RX|:|QX|.(13)
(12) és (13) alapján ebből következik
|RX|:|QX|=b:c
és
|RX|:|QX|=mb:mc.(14)
(14)-gyel beláttuk, hogy a fenti szerkesztés teljesíti a (10), és így a (11) feltételt. Ahogy itt az sp súlyvonalat megszerkesztettük, ugyanúgy szerkesztjük meg a Q-ból és az R-ből kiinduló súlyvonalat is. Az ABC háromszögvonal keresett súlypontja éppen két, így megadott súlyvonal metszéspontja.
Mindezt összefoglalva: Egy háromszögvonal Se súlypontját a következő eljárással szerkesztjük meg:
Az ABC háromszögben megszerkesztjük a három szögfelezőt: wα, wβ, wγ-t, valamint a három oldal, a, b és c felezőpontját, P, Q, R-et. Ekkor a P-n át wα-val, a Q-n át wβ-val és az R-en át wγ,-val párhuzamosan húzott három egyenes, sp, sq, ill. se egy pontban metszi egymást. Ez az Se pont a háromszögvonal súlypontja.
 

 

Függelék:
 

A fenti cikkhez felhasználtuk a következő segédtételt: Egy háromszög bármelyik szögfelezője a vele szemközti oldalt az őt közrefogó oldalak arányában osztja.
 

 

Bizonyítás: Alkalmazzuk a részháromszögekre a szinusz‐tételt! Eszerint
sinδsinα2=cv,sin(180-δ)sinα2=bu.(*)
Mivel sinδ=sin(180-δ), azért (*)-ból következik, hogy
cv=bu,azazbc=uv.