Cím: A vastag lencsék
Szerző(k):  Vermes Miklós 
Füzet: 1967/november, 163 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lencsék működését a fénytörés törvénye magyarázza meg. A tárgy valamely pontjából kiinduló fénysugarak mindegyike a lencsén áthaladva kétszer törik meg és a lencsén átment sugarak újra egyetlen pontban találkoznak. A tárgy lencsétől mért t távolsága a tárgytávolság, a kép k távolsága a képtávolság. A tengellyel párhuzamosan beeső sugarak találkozási pontja a fókusz, ennek a lencsétől mért f távolsága a fókusztávolság. A lencse anyagának n törésmutatójából és határoló gömbfelületeinek r1, r2 rádiuszaiból kiszámítható a fókusztávolság: 1/f=(n-1)(1/r1+1/r2), továbbá érvényes a képalkotás törvénye: 1/f=1/t+1/k. E két képlet a fénytörés törvényéből vezethető le, de csak közelítően érvényes akkor, ha a fénysugarak a tengely közelében haladnak, ha az előforduló beesési és törési szögek kicsinyek, ha a törésmutató nem függ a hullámhossztól és ha a lencse elhanyagolható vastagságú. Ilyen vékony lencsénél elegendő az az utasítás, hogy f, t, k ,,a lencsétől'' mérendők.
A lencse véges vastagságát számítással könnyen figyelembe lehet venni. Ekkor kapjuk a véges vastagságú lencsére érvényes képleteket. De a többi közelítés szükségessége most is megmarad! Lássuk ezt a számítást!

 
 
1. ábra
 

A lencse felületeinek rádiuszai r1=AO1 és r2=BO2, vastagsága d=S1S2, anyagának törésmutatója n (1. ábra). A tengellyel párhuzamosan beeső fénysugár A-ban éri el az első lencsefelületet, itt megtörik, B-be érkezik és ismét törik. A lencsét elhagyó fénysugár F1 fókuszpontban metszi a tengelyt. Ábránk vastag vonala a fénysugár tényleges útját tünteti fel. Hosszabbítsuk meg a belépő és kilépő fénysugarak egyeneseit: megkapjuk ezek D metszéspontját. Formálisan, szerkesztés alkalmával úgy vesszük, mintha a vízszintesen haladó fénysugár D-ben változtatta volna meg haladási irányát. A rádiuszok tengellyel alkotott szögei γ1 és γ2, a kilépő sugár tengellyel alkotott szöge φ; ezeket a szögeket a rajzban még több helyen is megtaláljuk. Közelítéseink miatt csak kis szögek szerepelhetnek, ezért az üvegben mért törési szögeket a törésmutatóval való osztással kapjuk meg: BAC-γ1/n és ABC=(γ2+φ)/n. Az ABC és az O1CO2 tompaszöge egyenlő, tehát két-két hegyes szögének összege is egyenlő:
γ1+γ2=γ1n+γ2+φn.
Ebből az egyenletből:
φ=(n-1)(γ1+γ2).(1)
Ez az egyenlet teszi lehetővé a fókusztávolság kiszámítását, ha a szögekről távolságokra térünk át.
Az F1 fókuszpont távolságát mérjük H1-től, vagyis a D ponton átmenő függőleges síktól: f=H1F1. A szögeket radiánokban számítjuk. Ha kicsinyek, akkor írható, hogy φ=DH1/f, γ1=DH1/r1 és γ2=BB1/r2. Így az (1) egyenlet:
DH1f=(n-1)[DH1r1+BB1r2],
illetve:
1f=(n-1)[1r1+BB1DH11r2].(2)

Számításainkra az lesz jellemző, hogy a tengellyel párhuzamos távolságok (például B1S1) tekintetében elhanyagolunk, hiszen számításunk csak a tengely közelében haladó sugarakat vesz figyelembe, de a tengelyre merőleges irányban pontosan számolunk. Ennek oka, hogy a fénysugarakkal a tengely felé haladva a tengellyel párhuzamos irányban elkövetett elhanyagolások sokkal gyorsabban közelednek nullához, mint a tengelyre merőleges irányban elkövetett közelítések. Ez az ábrából is felismerhető, hiszen a körív B1S1 eltérése az érintőtől négyzetesen csökken, ha a sugárral közeledünk a tengelyhez, viszont EB igen nagy lehet vastag lencséknél. Így BB1-et és DH1-et nem vehetjük egyenlőnek, a BB1/DH1 törtet ki kell számítanunk.
A BAE derékszögű háromszögből BE=ABsinBAE. Az AB távolságot közelítően d=S1S2 lencsevastagsággal, a szög színuszát a radiánban számolt szöggel vesszük egyenlőnek: BAE=CAE-CAB=γ1-γ1/n. Ennek alapján BE=d(γ1-γ1/n)=dγ1(n-1)/n=DH1d(n-1)/(r1n) és BB1=DH1-BE=DH1-DH1d(n-1)/(r1n), így:
BB1DH1=1-dn-1n1r1.(3)
Ezt (2)-be helyettesítve kapjuk a fókusztávolság képletét abban az esetben, ha a lencse vastagságát figyelembe vesszük:
1f=(n-1)[1r1+1r2-dn-1n1r1r2].(4)
A fénysugár magasságát megadó DH1 távolság kiesése azt jelenti, hogy minden párhuzamosan beeső fénysugár F1-ben találkozik, amennyiben közelítéseink teljesülnek.
Szükségünk van még a d1=H1S1 távolságra, hogy tudjuk, honnan kell mérni a fókusztávolságot. A BED derékszögű háromszögből:
DE=BE/φ=(DB1-BB1)/φ=f(1-BB1DH1).
Ide f (2) alatti és BB1/DH1 (3) alatti értékeit helyettesítve:
d1=dr2n(r1+r2)-d(n-1).(5)

A DH1 sík neve fősík, a kilépő lencsefelülettől mért d1 távolságát ez a képlet adja meg. Ha a fény a tengellyel párhuzamosan jobbról jön, akkor az indexek felcserélésével a második fősík távolsága a bal oldali felülettől:
d2=dr1n(r1+r2)-d(n-1).(5')
A fókusztávolság (4) alatti képletében az indexek szimmetrikusan fordulnak elő, tehát a fókusztávolság mindegyik oldalon ugyanakkora. Természetesen d=0 esetében a vékony lencsék közismert képletei adódnak.
1. ábránk pontos rajz abban az esetben, ha n=1,5. A rádiuszok r1=4cm és r2=6cm, d=3cm. A fókusztávolság f=16/3=5,33cm, a fősíkok távolságai d1=4/3=1,33cm és d2=8/9=0,89cm. d=0 esetében lencsénk fókusztávolsága 4,8cm lenne. Az eltérés nem túlságosan sok, de nem tudnánk, honnan mérjük a fókusztávolságot.
Mindezek alapján egy vastag lencsénél következőképp kell eljárnunk. Először kiszámítjuk (5) és (5') alapján d1-et és d2-t. d1-et a kilépő felülettől balra, d2-t a belépő felülettől jobbra mérjük fel és megkapjuk H1, H2 fősíkok helyét. Azután kiszámítjuk (4) szerint a fókusztávolságot; f-et H1-től jobbra felmérve F1-et, H2-től balra felmérve F2-t kapjuk meg. Ha d1, d2, f közül valamelyik negatív, az irányt fordítva kell venni.
 
 
2. ábra
 

2. ábránk az 1. ábra lencséjére vonatkozik, de felére kicsinyítve. Az adott T tárgyról az egyik szerkesztési sugarat a tengellyel párhuzamosan addig rajzoljuk, amíg eléri az első fősíkot D1-ben; a kilépő sugarat F1-en keresztül rajzoljuk. A második szerkesztési sugarat H2-nek irányítjuk és önmagával párhuzamosan eltolva folytatjuk H1-ből. A kilépő sugarak metszéspontja adja meg K képet. A tárgytávolság a második, a képtávolság az első fősíktól mérendő: t=TH2, k=H1K; ezekre a távolságokra teljesül az 1/t+1/k=1/f lencsetörvény. A helyzet kb. olyan, mintha a görbült lencsefelületek közé egy planparalel lemezt toltunk volna be. Eljárásunkkal a lencse vastagságának szerepét pontosan figyelembe vettük, de a többi közelítés feltétele megmarad, és a lencsehibák ugyancsak fellépnek. Lássunk néhány példát vastag lencsékre.
 
 
3. ábra
 

1. Gömb mint lencse (3. ábra). Ekkor r1=r2=r, d=2r; képleteink szerint f=nr/2(n-1), d1=d2=r. Tehát mindkét fősík a középpontba kerül. Ha a lencse anyaga 1,5-es törésmutatójú üveg, akkor f=1,5r, ha víz, akkor n=4/3 és f=2r, mindegyik esetben a középponttól mérve. Mindez hengerlencsére is érvényes és vízzel, folyadékkal telt gömblombikkal, hengerpohárral kivizsgálható.
 
 
4. ábra
 

2. Álljon lencsénk két egyező rádiuszú, ellentétes görbületű gömb- vagy hengerfelületből (4. ábra). Ha a felületek közel vannak, akkor a szerkezet planparalel lemezként viselkedik, de ha vastagsága nagy, akkor lencseként működik. Ekkor r1=r, r2=-r, így f=nr2/d(n-1)2, d1=r/(n-1), d2=-r/(n-1). 4. ábránkon r=2cm, n=1,5, d=1,5r, d1=2r, d2=-2r, f=4r. Tanulságos a fordított irányú sugármenet tanulmányozása is (alsó rajz).
 
 Vermes Miklós