Kezdőlap


Cím:	A négyzetgyökvonásról ( megjegyzések a 1029. és 1109. gyakorlatokhoz)
Szerző(k):	Tusnády Gábor
Füzet:	1967/november, 97 - 99. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1029. matematika gyakorlat, 1967/február: 1109. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzések a 1029. és 1109. gyakorlatokhoz

1. Az 1029. gyakorlatban látott eljárás és annak az 1109. gyakorlatban látott módosítása ^{$^{*}$} a következő általánosabb eljárás speciális esetének tekinthető.
Tegyük fel, hogy

\sqrt[]{a}

közelítésére korábbi lépésekből a

c_{i}

közelítő értéket kaptuk. Legyen

\begin{matrix} m_{i} = a - c_{i}^{2}, \end{matrix}

és

\sqrt[]{a}

új közelítése legyen

c_{i + 1} = c_{i} + d_{i}

, akkor

\begin{matrix} m_{i + 1} = a - c_{i + 1}^{2} = a - {(c_{i} + d_{i})}^{2} = a - c_{i}^{2} - d_{i} (2 c_{i} + d_{i}) = m_{i} - d_{i} (2 c_{i} + d_{i}) \end{matrix}

függetlenül attól, hogyan határoztuk meg az új közelítésben használt

d_{i}

értéket. Ennek meghatározásánál két szempontot vehetünk figyelembe:
a)

c_{i + 1}

jobb közelítése legyen

\sqrt[]{a}

-nak, mint

c_{i}

, vagyis

| m_{i + 1} | < | m_{i} |

legyen. Minél nagyobb az

| m_{i} | - | m_{i + 1} |

különbség, annál jobb az eljárásunk.
b)

d_{i}

meghatározása egyszerű legyen.
Az első szempontot tökéletesen kielégítenénk, ha

d_{i}

-t úgy határoznánk meg, hogy

m_{i + 1} = 0

legyen, ami

\begin{matrix} m_{i + 1} = a - c_{i + 1}^{2} = (\sqrt[]{a} - c_{i + 1}) (\sqrt[]{a} + c_{i + 1}) = 0 \end{matrix}

miatt azt jelentené, hogy

c_{i + 1} = \sqrt[]{a}

d_{i} = \sqrt[]{a} - c_{i}

volna. (Itt és a továbbiakban feltesszük, hogy a

\sqrt[]{a}

közelítéséhez használt

c_{j}

számok pozitívak.)

d_{i}

ilyen értékét természetesen csak

\sqrt[]{a}

pontos értéke alapján adhatnánk meg, közelítő értékét viszont a

\begin{matrix} d_{i} = \sqrt[]{a} - c_{i} = \frac{a - c_{i}^{2}}{\sqrt[]{a} + c_{i}} = \frac{m_{i}}{\sqrt[]{a} + c_{i}} \end{matrix}

átalakítás alapján úgy adhatjuk meg, hogy az

\frac{m_{i}}{\sqrt[]{a} + c_{i}}

tört nevezőjében

\sqrt[]{a}

-t a már ismert közelítő értékével,

c_{i}

-vel helyettesítjük: így az 1029. gyakorlat megoldásában használt, a

d_{i} = \frac{m_{i}}{2 c_{i}}

összefüggéssel megadott eljáráshoz jutunk. Mivel azonban az

\frac{m_{i}}{2 c_{i}}

hányados az ideális

d_{i}

korrekciónak csak közelítése, nem érdemes azt túl nagy pontossággal meghatározni. Így jutunk el a második szempont figyelembevételéhez.
A gyökvonás szokott^{$^{*}$} (10-es számrendszerbeli) végrehajtásánál

d_{i}

-t úgy határozzuk meg, hogy az

\sqrt[]{a}

-nak

(i + 1)

-ik értékes jegye legyen, vagyis az

\frac{m_{i}}{2 c_{i}}

hányadost csak egy értékes jegyre határozzuk meg (ami azonban ebben az esetben

0

is lehet). Ugyanígy a második szempontot tartottuk szem előtt az 1109. gyakorlat megoldásában, amikor az

a = 1 + x

szám gyökét

x

polinomjával akartuk közelíteni; tehát

c_{i}

-t

\begin{matrix} c_{i} = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{i} x^{i} \end{matrix}

alakban kívántuk megadni. Ebben az esetben

m_{i}

is az

x

polinomja lesz, és ha

x

kicsi,

m_{i}

csökkenését biztosítjuk azzal, ha

x

-nek

m_{i}

-ben fellépő legalacsonyabb kitevőjű hatványa

x^{i + 1}

azaz

m_{i} = b_{i} x^{i + 1} + ...

. Ha ezt már az első

i

lépésben sikerült biztosítanunk, akkor az

(i + 1)

-ik lépésben úgy érjük el, hogy

d_{i}

-t

d_{i} = \frac{b_{i}}{2 a_{0}} \cdot x^{i + 1}

-nek választjuk, hiszen ekkor az

m_{i + 1} = m_{i} - d_{i} (2 c_{i} + d_{i})

polinomban

x^{i + 1}

együtthatója

0

lesz:

d_{i}

ilyen választása épp annak felel meg, hogy az

\frac{m_{i}}{2 c_{i}}

hányadost a számláló és nevező legalacsonyabb fokú tagjainak a hányadosával helyettesítjük.
2. Fenti meggondolásaink alapján

a_{i + 1}

-et könnyen meghatározhatjuk (

a_{0}

a_{1}

... a_{i}

) segítségével. Mint láttuk,

d_{i} = \frac{b_{i}}{2 a_{0}} \cdot x^{i + 1}

, tehát

a_{i + 1} = \frac{b_{i}}{2 a_{0}}

, ahol

a_{0} = 1

és

b_{i}

m_{i}

polinomban

x^{i + 1}

együtthatója:

\begin{matrix} m_{i} = a - c_{i}^{2} = (1 + x) - {(a_{0} + a_{1} x + ... + a_{i} x^{i})}^{2} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} b_{i} = - 2 (a_{1} a_{i} + a_{2} a_{i - 1} + ...), \end{matrix}

ahol az utolsó tag, ha

i

páros, vagyis

i = 2 j

, akkor

a_{j} a_{j + 1}

; ha pedig

i = 2 j - 1

, akkor

(1 / 2) \cdot a_{j}^{2}

. Kaptuk tehát, hogy

\begin{matrix} a_{i + 1} = - (a_{1} a_{i} + a_{2} a_{i - 1} + ...) . \end{matrix}

Ennek alapján a további két tag együtthatóját gyorsabban határozhatjuk meg: ha már tudjuk, hogy

\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{2^{3}}, a_{3} = \frac{1}{2^{4}}, a_{4} = \frac{5}{2^{7}}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a_{5} = - (a_{1} a_{4} + a_{2} a_{3}) = \frac{5}{2^{8}} + \frac{1}{2^{7}} = \frac{7}{2^{8}}, \\ a_{6} = - (a_{1} a_{5} + a_{2} a_{4} + \frac{1}{2} \cdot a_{3}^{2}) = - \frac{7}{2^{9}} - \frac{5}{2^{10}} - \frac{1}{2^{9}} = - \frac{21}{2^{10}} . \end{matrix}

Tusnády Gábor

^{$^{*}$}Lásd a megoldást ezen számban 151. o.

^{$^{*}$}A négyzetgyökvonás korábban tanított algoritmusa, a gyök számjegyeinek egyenként, egymás után való meghatározása az 1967/68. tanévtől kezdve nem szerepel a gimnáziumok tankönyvében. ‐ Szerk.