Kezdőlap


Cím:	A tangens tétel
Füzet:	1901/október, 35. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bulletin de sciences math. et phys. élément. ötödik kötetében a tangens-tétel következő geometriai bizonyításait közli:
I. Legyen az $A B C$ háromszögben $b > c$ . Mérjük $A C$ -re $A$ -tól jobbra és balra $A B$ -t, úgy hogy $A D = A E = A B$ . Rajzoljuk meg a $B D$ és $B E$ egyeneseket s húzzuk meg végre az $E F$ egyenest párhuzamosan $B D$ -vel.

Minthogy

\begin{matrix} E B F ∢ = \frac{B - C}{2} ∢ és D ∢ = \frac{A}{2} ∢, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} tg \frac{B - C}{2} = \frac{E F}{B E} = \frac{E F}{B D tg \frac{A}{2}} = \frac{E F}{B D} = ctg \frac{A}{2} = \frac{C E}{C D} ctg \frac{A}{2} = \frac{b - c}{b + c} ctg \frac{A}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{tg \frac{B - C}{2}}{tg \frac{B + C}{2}} = \frac{b - c}{b + c} . \end{matrix}

II.

b > c

s így

B ∢ > C ∢

. Legyen

A D = A E = A C

C A D

és

C A E

egyenlőszárú háromszögekben, továbbá a

C D E

derékszögű háromszögben:

\begin{matrix} D ∢ = \frac{A}{2} ∢, E ∢ = 90^{\circ} - \frac{A}{2} ∢, \end{matrix}

\begin{matrix} B C E ∢ = \frac{B - C}{2} ∢, \end{matrix}

\begin{matrix} B C D ∢ = 90^{\circ} - \frac{B - C}{2} ∢ . \end{matrix}

B C D

és

B C E

háromszögekre alkalmazva a sinus-tételt, ered:

\begin{matrix} \frac{b + c}{cos \frac{B - C}{2}} = \frac{a}{sin \frac{A}{2}}, \frac{b - c}{sin \frac{B - C}{2}} = \frac{a}{cos \frac{A}{2}} . \end{matrix}

A két egyenletet egymással elosztva, ered:

\begin{matrix} \frac{b + c}{b - c} \cdot tg \frac{B - C}{2} = ctg \frac{A}{2} . \end{matrix}