Kezdőlap


Cím:	A körvonal kiegyenesítése
Szerző(k):	Récsei L. Farkas
Füzet:	1901/november, 54 - 56. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Technische Rundschau 1900 január 31-iki számában érdekes czikkecske jelent meg, melyet részint fordításban, részint kivonatban közlünk.
Ha az $M_{1}$ középpontú körben meghúzzuk az egymásra merőleges $A M_{2}$ és $B F$ átmérőket, nemkülönben az $A B$ és $M_{2} B$ húrokat, akkor:

\begin{matrix} A M_{2} B ∢ = \frac{R}{2} . \end{matrix}

Ha most

M_{2}

körül

A M_{2} = 2 r

sugárral körívet rajzolunk, mely az

M_{2} B

meghosszabbítását

C

-ben metszi, akkor az

A B

ív egyenlő az

A C

ívvel, mert:

\begin{matrix} arc. A B = \frac{r π}{2} \end{matrix}

és az

A M_{2} = 2 r

sugarú körben

\begin{matrix} arc. A C = 2 \cdot \frac{2 r π}{360} \cdot \frac{R}{2} = \frac{r π}{2} . \end{matrix}

Tovább menve, ha

A M_{3} = 4 r

-rel megint körívet rajzolunk, mely az

M_{3} C

-t

D

-ben metszi, akkor:

\begin{matrix} arc. A D = \frac{2 \cdot 4 r π}{360} \cdot \frac{R}{4} = \frac{r π}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} arc. A B = arc. A C = arc. A D = ... é. í. t. \end{matrix}

Ezt a szerkesztés-módot folytatva, a sugár folytonos meghosszabbításával az ívet mindinkább kiegyenesítjük, úgy hogy ez mindjobban közeledik az

A

pontban rajzolt érintőhöz. Az ábrán látható

A P

távolság adja a körnegyed hosszúságát.

Ezen szerkesztésnél látszólagos nehézséget okoz az

M_{2}, M_{3}, M_{4} ...

középpontoknak megtalálása a sugár túlságos hosszúsága miatt. De ez a nehézség is megszűnik, ha figyelembe vesszük, hogy a megfelelő húrok

B, C, D ...

pontokban egymásra merőlegesen állanak, miáltal egy igen egyszerű mód kínálkozik a körnegyed kiegyenesítésére. Az adott sugárral megrajzoljuk az

A M_{1} B

körnegyedet és

A

pontban a körhöz érintőt húzunk.

A

-t összekötjük

B

-vel és az így származott

B A L

szöget megfelezzük. Ezután az így keletkezett

C A L

szöget felezzük s eme eljárást folytatjuk, míg rajzeszközeink és érzékeink azt engedik. Így tehát

\begin{matrix} B A L = \frac{R}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} C A L = \frac{R}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} D A L = \frac{R}{8} stb. \end{matrix}

Ezután meghúzzuk egymásután a következő merőlegeseket:

B

pontban

A B

-re

C

pontig;

C

pontban

A C

-re

D

pontig;

D

pontban

A D

-re

E

pontig és így tovább. Az így talált

A P

hosszúság a kiigazított körnegyed hosszúságával egyenlő.
E szerkesztés segélyével a

π

szám algebrailag is kiszámítható.

B A M_{1}

háromszögből ugyanis:

\begin{matrix} A B = a_{1} = \frac{r}{cos \frac{R}{2}} \end{matrix}

(1)

C A B

háromszögből:

\begin{matrix} A C = a_{2} = \frac{a_{1}}{cos \frac{R}{4}} = \frac{a_{1}}{cos \frac{R}{2^{2}}} \end{matrix}

(2)

és per analogiam

\begin{matrix} A C = a_{3} = \frac{a_{2}}{cos \frac{R}{8}} = \frac{a_{2}}{cos \frac{R}{2^{3}}} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{cos \frac{R}{2^{n}}} \end{matrix}

(n)

Ezen

n

egyenletet összeszorozva kapjuk:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{r}{cos \frac{R}{2} \cdot cos {\frac{R}{2}}^{2} ... cos \frac{R}{2^{n}}}, \end{matrix}

n = \infty

, akkor

a_{n}

a körnegyed hosszával egyenlő, vagyis

\begin{matrix} a_{\infty} = \frac{r π}{2}, \end{matrix}

miért is:

\begin{matrix} π = \frac{2}{cos \frac{R}{2} \cdot cos {\frac{R}{2}}^{2} \cdot cos {\frac{R}{2}}^{3} ... cos \frac{R}{2^{n}} ...} \end{matrix}

Goering^{$^{*}$} ezt a számítást elvégezte és azt találta, hogy:

\begin{matrix} π = 3,1415927 ... \end{matrix}

A Goering-féle ábrában a legrégibb szerkesztéseknek egyike található föl, t. i. a Kochánszky-féle, a mely a következőkből áll: A pont körül

r

sugárral körívet rajzolunk, a mely az eredeti kört

G

-ben metszi. Azután

G

pont körül rajzolunk körívet ugyanazzal a sugárral, a mely az előbbi ívet

H

-ban metszi.

H

-t összekötjük

M_{1}

-gyel és ezen

H M_{1}

egyenes és az

A

pontban húzott érintő

K

metszéspontjától az érintőre a háromszoros sugarat rámérjük és kapjuk

I K

-t. Azután az

I

pontot összekötjük

M_{2}

-vel;

I M_{2}

-t

M_{1} E

meghosszabbítása

N

-ben metszi.

I M_{2}

megközelítőleg

r π

-vel egyenlő, tehát

\begin{matrix} N M_{3} = \frac{r π}{2} . \end{matrix}

A P

és

N M_{2}

között a különbség alig vehető észre; legalább is a közönségesen használatban levő rajztábla nagyságú ábrán nem. Egy

5

m sugarú körnegyed hosszúsága a milliméternek

0,15

részével különbözik a valóságtól, a mi körülbelül a körző szúrópontjának felel meg.

^{$^{*}$}Goeying Vilmos dr.: "A kör négyzetesítésének tisztán geometriai megoldása és bármely szögnek és körnek tetszésszerinti egyenlő részekre való osztása". Megjelent Schüzmann Ernő kiadónál németül Drezdában.