Cím: A körvonal kiegyenesítése
Szerző(k):  Récsei L. Farkas 
Füzet: 1901/november, 54 - 56. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Technische Rundschau 1900 január 31-iki számában érdekes czikkecske jelent meg, melyet részint fordításban, részint kivonatban közlünk.
Ha az M1 középpontú körben meghúzzuk az egymásra merőleges AM2 és BF átmérőket, nemkülönben az AB és M2B húrokat, akkor:

AM2B=R2.
Ha most M2 körül AM2=2r sugárral körívet rajzolunk, mely az M2B meghosszabbítását C-ben metszi, akkor az AB ív egyenlő az AC ívvel, mert:
arc.AB=rπ2
és az AM2=2r sugarú körben
arc.AC=22rπ360R2=rπ2.
Tovább menve, ha AM3=4r-rel megint körívet rajzolunk, mely az M3C-t D-ben metszi, akkor:
arc.AD=24rπ360R4=rπ2,
tehát
arc.AB=arc.AC=arc.AD=...é. í. t.
Ezt a szerkesztés-módot folytatva, a sugár folytonos meghosszabbításával az ívet mindinkább kiegyenesítjük, úgy hogy ez mindjobban közeledik az A pontban rajzolt érintőhöz. Az ábrán látható AP távolság adja a körnegyed hosszúságát.
 
 

Ezen szerkesztésnél látszólagos nehézséget okoz az M2,M3,M4... középpontoknak megtalálása a sugár túlságos hosszúsága miatt. De ez a nehézség is megszűnik, ha figyelembe vesszük, hogy a megfelelő húrok B,C,D... pontokban egymásra merőlegesen állanak, miáltal egy igen egyszerű mód kínálkozik a körnegyed kiegyenesítésére. Az adott sugárral megrajzoljuk az AM1B körnegyedet és A pontban a körhöz érintőt húzunk. A-t összekötjük B-vel és az így származott BAL szöget megfelezzük. Ezután az így keletkezett CAL szöget felezzük s eme eljárást folytatjuk, míg rajzeszközeink és érzékeink azt engedik. Így tehát
BAL=R2
CAL=R4
DAL=R8stb.
Ezután meghúzzuk egymásután a következő merőlegeseket: B pontban AB-re C pontig; C pontban AC-re D pontig; D pontban AD-re E pontig és így tovább. Az így talált AP hosszúság a kiigazított körnegyed hosszúságával egyenlő.
E szerkesztés segélyével a π szám algebrailag is kiszámítható. BAM1 háromszögből ugyanis:
AB=a1=rcosR2(1)
CAB háromszögből:
AC=a2=a1cosR4=a1cosR22(2)

és per analogiam
AC=a3=a2cosR8=a2cosR23(3)
an=an-1cosR2n(n)
Ezen n egyenletet összeszorozva kapjuk:
an=rcosR2cosR22...cosR2n,
ha n=, akkor an a körnegyed hosszával egyenlő, vagyis
a=rπ2,
miért is:
π=2cosR2cosR22cosR23...cosR2n...
Goering* ezt a számítást elvégezte és azt találta, hogy:
π=3,1415927...
A Goering-féle ábrában a legrégibb szerkesztéseknek egyike található föl, t. i. a Kochánszky-féle, a mely a következőkből áll: A pont körül r sugárral körívet rajzolunk, a mely az eredeti kört G-ben metszi. Azután G pont körül rajzolunk körívet ugyanazzal a sugárral, a mely az előbbi ívet H-ban metszi. H-t összekötjük M1-gyel és ezen HM1 egyenes és az A pontban húzott érintő K metszéspontjától az érintőre a háromszoros sugarat rámérjük és kapjuk IK-t. Azután az I pontot összekötjük M2-vel; IM2-t M1E meghosszabbítása N-ben metszi. IM2 megközelítőleg rπ-vel egyenlő, tehát
NM3=rπ2.
AP és NM2 között a különbség alig vehető észre; legalább is a közönségesen használatban levő rajztábla nagyságú ábrán nem. Egy 5 m sugarú körnegyed hosszúsága a milliméternek 0,15 részével különbözik a valóságtól, a mi körülbelül a körző szúrópontjának felel meg.
*Goeying Vilmos dr.: "A kör négyzetesítésének tisztán geometriai megoldása és bármely szögnek és körnek tetszésszerinti egyenlő részekre való osztása". Megjelent Schüzmann Ernő kiadónál németül Drezdában.