Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 6.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1901/március, 177 - 180. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. AZ ALGEBRAI EGÉSZ FÜGGVÉNYEKRŐL ÉS AZ ELEMI ÚTON MEGFEJTHETŐ MAXIMUM-MINIMUM FELADATOKRÓL. (VI).   28. Kivételes eset. Alaptételünk levezetésénél (24. pont) föltételeztük azt, hogy az állandó összegű két változó tényleg egyenlővé válhatik. Ugyanis ekkor áll elő az $xy$ maximális értéke a $\begin{array}{c}{\displaystyle 4xy={\left(x+y\right)}^2-{\left(x-y\right)}^2}\end{array}$ kifejezésben. Lehetnek azonban esetek ‐ és nem is igen ritkán ‐ melyekben a változók oly korlátozásoknak vannak alávetve, hogy nem válhatnak egyenlőkké. Ily esetekben tételünk ilyként módosítandó: Ha két változó mennyiség összege állandó, de a változók egyenlőkké nem válhatnak, akkor szorzatuk abban az esetben éri naximumát, a mely esetben külömbségük négyzete minimumát éri. A tétel még ezzel toldható meg: a változók szorzata akkor éri minimumát, a mikor külömbségük négyzete maximumát éri. Példaképpen a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{sin}x+2\right)\left(7-\text{sin}x\right)}\end{array}$ szorzat eminens értékeinek vizsgálatát adjuk, bár itt nem algebrai függvényről van szó. A változó tényezők összege $9$, tehát állandó, de a tényezők egyenlőkké nem válhatnak, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x+2=7-\text{sin}x}\end{array}$ arra vezetne, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x=\frac{5}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ a mi pedig lehetetlen. Ennélfogva keressük, hogy a változók külömbségének négyzetét $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(2\text{sin}x-5\right)}^2}\end{array}$ $x$-nek mely értéke alakítja minimálissá? A minimum $\text{sin}x=+1$ esetében áll elő. Az adott szorzat maximális értéke $18$. A ${\left(2\text{sin}x-5\right)}^2$ maximumának az adott szorzat minimuma felel meg. A maximum $\text{sin}x$-nek legkisebb negatív értékére nézve áll be, tehát $\text{sin}x=-1$ esetében. Az adott szorzatnak minimális értéke $8$.   29. A tétel megfordítása. Ha két positív változó mennyiség szorzata állandó, a változók összege akkor minimális, ha a tényezők egyenlők, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak. Nevezzük a tényezők szorzatának állandó értékét $p$-nek $\begin{array}{c}{\displaystyle 4xy={\left(x+y\right)}^2-{\left(x-y\right)}^2}\end{array}$ identitás alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle 4p+{\left(x-y\right)}^2={\left(x+y\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből következik, hogy ${\left(x+y\right)}^2$, tehát $x+y$ is akkor éri minimumát, a mikor ${\left(x-y\right)}^2=0$, tehát $x=y$. Feltételünket még más módon is igazolhatjuk. Legyen $m$ a minimális összeg értéke. Akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=m}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=p}\end{array}$ alapján fölállíthatjuk azt a vegyes $2$-fokú egyenletet, melynek gyökei $x$ és $y$. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-mx+p=0}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{m\pm \sqrt[]{m^2-p}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A gyököknek positív számoknak kell lenniök; ennek szükséges és elégséges föltétele az, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle m^2-p\geqq \mathrm{0,}}\end{array}$ más szóval $\begin{array}{c}{\displaystyle m^2\geqq p\mathrm{.}}\end{array}$ Minthogy $m^2$-nek minimális értéke $p$, ennélfogva $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\sqrt[]{p}}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle x=y=\frac{m}{2}=\frac{\sqrt[]{p}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   30. A tétel általánosítása $2$-nél több változó esetére. Több positiv változó mennyiség összege állandó lévén, szorzatuk akkor éri maximumát, ha a tényezők egyenlőkké válnak, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak. $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y+z+u+\text{...}=a\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a változók nem volnának egyenlőek, akkor állandó összegük megváltoztatása nélkül közülök bármely kettő pl. $x$ és $y$ illetőlegesen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y}{2}}\end{array}$ értékkel helyettesíhető. Minthogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y}{2}\cdot \frac{x+y}{2}>xy}\end{array}$ következésképpen Ezt az okoskodást mindaddig folytathatjuk, míg végre az összes tényezők egyenlőkké váltak. Ebben az esetben a szorzat minden tényezője $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y+z+\text{...}+t}{n}}\end{array}$ értékű lesz, és általában $\begin{array}{c}{\displaystyle xyz\text{...}t<{\left(\frac{x+y+z+\text{...}+t}{n}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ Általánosítsuk a mértani középarányos fogalmát olyként, hogy $n$ számú mennyiség mértani középarányosa alatt szorzatuk $n$-dik gyökét értjük. Ha egyenlőtlenségünk mindkét oldalából $n$-dik gyököt vonunk, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[n]{xyz\text{...}t}<\frac{x+y+z+\text{...}+t}{n}}\end{array}$ egy ismert tétel általánosításaként azt fejezi ki, hogy: $n$ számú mennyiség mértani középarányosa kisebb számtani középarányosánál.   31. Negatív tényezők esete. Tételünk páros számú negatív tényező esetében is érvényes marad. Ugyanis a változók $p$ szorzata positív és az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y}{2}\cdot \frac{x+y}{2}>xy}\end{array}$ egyenlőtlenségből következik s í. t Ellenben, ha a negatív tényezök páratlan számúak, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+y}{2}\cdot \frac{x+y}{2}>xy}\end{array}$ egyenlőtlenség az egyenlőtlenséget vonja maga után, s ekkor a tényezők egyenlősége esetében a szorzat minimális érlékéhez jutunk.   32.  Az általánosított tétel megfordítása. Ha több positív változó mennyiség szorzata állandó, a változók összege akkor minimális, ha a tényezők egyenlők, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak.   Legyen $xyz\text{...}t=$ const. Ha a változók nem egyenlők, akkor összegük kisebbíthető, a nélkül, hogy szorzatuk megváltoznék; mert ha pl. $x$ nem egyenlő $y$-nal (jele: $x\ne y)$, akkor a szorzatban ezen változókat geometriai középarányosukkal helyettesíthetjük és ugyanazt mondja, mint a megelőző egyenlőség. De $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{xy}+\sqrt[]{xy}<x+y}\end{array}$ s ennélfogva $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{xy}+\sqrt[]{xy}+z+\text{...}+t<x+y+z+\text{...}t}\end{array}$ s így a változók összege akkor lesz minimális, ha a szorzat tényezői egyenlőek. A módszer a következő két feladatra alkalmazható:   922. Az $R$ sugarú gömbbe írt derékszögű egyenközlapok közül melyiknek térfogata maximális?   923. Az egyenlő térfogatú egyenközlapok közül melyiknek felszíne legkisebb?