Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 6.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1901/március, 177 - 180. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

AZ ALGEBRAI EGÉSZ FÜGGVÉNYEKRŐL
ÉS AZ ELEMI ÚTON MEGFEJTHETŐ MAXIMUM-MINIMUM
FELADATOKRÓL. (VI).

 
28. Kivételes eset. Alaptételünk levezetésénél (24. pont) föltételeztük azt, hogy az állandó összegű két változó tényleg egyenlővé válhatik. Ugyanis ekkor áll elő az xy maximális értéke a
4xy=(x+y)2-(x-y)2
kifejezésben.
Lehetnek azonban esetek ‐ és nem is igen ritkán ‐ melyekben a változók oly korlátozásoknak vannak alávetve, hogy nem válhatnak egyenlőkké. Ily esetekben tételünk ilyként módosítandó:
Ha két változó mennyiség összege állandó, de a változók egyenlőkké nem válhatnak, akkor szorzatuk abban az esetben éri naximumát, a mely esetben külömbségük négyzete minimumát éri.
A tétel még ezzel toldható meg: a változók szorzata akkor éri minimumát, a mikor külömbségük négyzete maximumát éri.
Példaképpen a
(sinx+2)(7-sinx)
szorzat eminens értékeinek vizsgálatát adjuk, bár itt nem algebrai függvényről van szó. A változó tényezők összege 9, tehát állandó, de a tényezők egyenlőkké nem válhatnak, mert
sinx+2=7-sinx
arra vezetne, hogy
sinx=52,
a mi pedig lehetetlen.
Ennélfogva keressük, hogy a változók külömbségének négyzetét
(2sinx-5)2
x-nek mely értéke alakítja minimálissá? A minimum sinx=+1 esetében áll elő. Az adott szorzat maximális értéke 18.
A (2sinx-5)2 maximumának az adott szorzat minimuma felel meg. A maximum sinx-nek legkisebb negatív értékére nézve áll be, tehát sinx=-1 esetében. Az adott szorzatnak minimális értéke 8.
 
29. A tétel megfordítása. Ha két positív változó mennyiség szorzata állandó, a változók összege akkor minimális, ha a tényezők egyenlők, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak.
Nevezzük a tényezők szorzatának állandó értékét p-nek
4xy=(x+y)2-(x-y)2
identitás alapján
4p+(x-y)2=(x+y)2.
Ebből következik, hogy (x+y)2, tehát x+y is akkor éri minimumát, a mikor (x-y)2=0, tehát x=y.
Feltételünket még más módon is igazolhatjuk. Legyen m a minimális összeg értéke. Akkor
x+y=m
xy=p
alapján fölállíthatjuk azt a vegyes 2-fokú egyenletet, melynek gyökei x és y.
x2-mx+p=0
x=m±m2-p2.
A gyököknek positív számoknak kell lenniök; ennek szükséges és elégséges föltétele az, hogy
m2-p0,
más szóval
m2p.
Minthogy m2-nek minimális értéke p, ennélfogva
m=p
s így
x=y=m2=p2.
 
30. A tétel általánosítása 2-nél több változó esetére. Több positiv változó mennyiség összege állandó lévén, szorzatuk akkor éri maximumát, ha a tényezők egyenlőkké válnak, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak.
x+y+z+u+...=a.
Ha a változók nem volnának egyenlőek, akkor állandó összegük megváltoztatása nélkül közülök bármely kettő pl. x és y illetőlegesen
x+y2
értékkel helyettesíhető.
Minthogy
x+y2x+y2>xy
következésképpen
x+y2x+y2zu...>xyzu...
Ezt az okoskodást mindaddig folytathatjuk, míg végre az összes tényezők egyenlőkké váltak. Ebben az esetben a szorzat minden tényezője
x+y+z+...+tn
értékű lesz, és általában
xyz...t<(x+y+z+...+tn)n.
Általánosítsuk a mértani középarányos fogalmát olyként, hogy n számú mennyiség mértani középarányosa alatt szorzatuk n-dik gyökét értjük. Ha egyenlőtlenségünk mindkét oldalából n-dik gyököt vonunk, akkor
xyz...tn<x+y+z+...+tn
egy ismert tétel általánosításaként azt fejezi ki, hogy: n számú mennyiség mértani középarányosa kisebb számtani középarányosánál.
 
31. Negatív tényezők esete. Tételünk páros számú negatív tényező esetében is érvényes marad.
Ugyanis a változók p szorzata positív és az
x+y2x+y2>xy
egyenlőtlenségből
x+y2x+y2z...t>p
következik s í. t
Ellenben, ha a negatív tényezök páratlan számúak, akkor az
x+y2x+y2>xy
egyenlőtlenség az
x+y2x+y2z...t<p
egyenlőtlenséget vonja maga után, s ekkor a tényezők egyenlősége esetében a szorzat minimális érlékéhez jutunk.
 
32.  Az általánosított tétel megfordítása. Ha több positív változó mennyiség szorzata állandó, a változók összege akkor minimális, ha a tényezők egyenlők, föltéve, hogy egyenlőkké válhatnak.
 
Legyen xyz...t= const. Ha a változók nem egyenlők, akkor összegük kisebbíthető, a nélkül, hogy szorzatuk megváltoznék; mert ha pl. x nem egyenlő y-nal (jele: xy), akkor a szorzatban ezen változókat geometriai középarányosukkal helyettesíthetjük és
xyxy<x+yz...t=const.
ugyanazt mondja, mint a megelőző egyenlőség. De
xy+xy<x+y
s ennélfogva
xy+xy+z+...+t<x+y+z+...t
s így a változók összege akkor lesz minimális, ha a szorzat tényezői egyenlőek.
A módszer a következő két feladatra alkalmazható:
 
922. Az R sugarú gömbbe írt derékszögű egyenközlapok közül melyiknek térfogata maximális?
 
923. Az egyenlő térfogatú egyenközlapok közül melyiknek felszíne legkisebb?