A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 13. Az ABC háromszögbe rajzolható derékszögű parallelogrammák közül melyiknek területe a legnagyobb?
A mellékelt rajzban szereplő hosszúságok rövid jelölése a következő legyen: Minthogy és az oldalok arányosságából Innét s a parallelogramma területe Minthogy -nek negatív az együtthatója, tehát az eminens érték maximum, s beáll, ha A maximális terület pedig: A megelőzőkben ismertetett módszer segítségével még két feladatot fogunk tárgyalni, melyeknél a vizsgált egész függvény más alakú, mint az, a mellyel első sorban foglalkozunk, de arra visszavezethető.
14. Állapítsuk meg az függvénynek eminens értékeit.
| | Minthogy ebben a -fokú egész függvényben -nek együtthatója (két négyzetszám összege) mindig positív, azért az eminens érték csakis minimum lehet, mely beáll, ha A függvénynek minimális értéke pedig 15. Állapítsuk meg az kifejezés eminens értékeit, tudván azt, hogy , hol alatt positív számot értünk.
A föltételi egyenletből s ezt a kifejezést helyettesítvén, az alakot ölt, vagyis lesz a megvizsgálandó függvény. Ennek csakis minimumáról lehet szó, mely beáll, ha Minthogy tehát ez esetben s a minimális érték . Az eddigiek begyakorlására ajánljuk a következő feladatok megoldását: (a) Az szám oly két részre osztandó, hogy az első rész négyzetének -szereséhez a második rész négyzetének -szeresét hozzáadván, az összeg minimális értékűvé legyen. (b) Az hosszúságon keressük meg azt a pontot, melyre nézve (K. M. L. IV. 322. feladat.) minimális. (c) Két körhengernek magasságai és ; határozzuk meg küllőiket oly módon, hogy palástjaik összege legyen, térfogatuk összege pedig minimálissá váljék. (d) Rajzoljunk egy adott körnegyedbe maximális területű derékszögű parallelogrammát oly módon, hogy a parallelogramma egyik csúcspontja a körnegyed körének középpontjával egybeessék. 861. (e) Ha valamely egyenlő oldalú háromszög oldalait ugyanazon arányban osztjuk, s az osztópontokat összekötjük, ismét egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Mily arányban kell az adott háromszög oldalait osztanunk, hogy az osztópontok háromszögének területe minimális legyen? 862. (f) Rajzoljuk az küllőjű körbe a legnagyobb területű derékszögű parallelogrammát. (g) Rajzoljunk egy adott négyzetbe minimális területű négyzetet. Mily arányban osztják föl a keresett négyzet csúcspontjai az adott négyzet oldalait? 863. (h) Az háromszög oldalának közepe csúcspontja annak a háromszögnek, melynek másik két csúcspontját egy a oldallal párhuzamos egyenes metszi ki az adott háromszögnek és oldalain. Mily helyzete lesz a metsző egyenesnek, ha az ily módon meghatározott új háromszög területe eminens értéket vesz föl? 864. (i) Adott kör síkjának egy pontjától a körhöz szelőt húzunk. A szelőnek mely helyzetében lesz annak a háromszögnek területe maximálissá, melynek egyik csúcspontja a körnek középpontja, másik két csúcspontját pedig a szelő határozza meg a kör kerületén? Szerkesszük meg e szelőt. (j) Az vonaldarab -ben oly két részre osztandó, hogy fölött az egyenlő oldalú háromszöget, fölött a négyzetet szerkesztvén, és -t -fel összekötvén, az ötszög területe minimális legyen. 865. Az háromszög súlyvonalán keressünk egy oly pontot, melyre nézve minimális értékű. (l) Egy téglalap szomszédos oldalai: és . A csúcsoktól egyirányban az oldalra távolságokat rakunk föl, melyek végpontjai egy parallelogrammának csúcspontjai. 1. Mily föltétel mellett minimális ezen parallelogrammának területe? 2. Kísérjük figyelemmel a beírt parallelogramma területének változásait. 866. (m) Adott rhombusba a legnagyobb területű derékszögű négyszög beírandó. (n) Egy téglalap szomszédos oldalai: és . Két szemköztes csúcstól kiindulva, a szomszédos oldalra távolságokat rakunk föl. Az így talált négy pont egy beírt parallelogrammát szolgáltat. 1. Mikor válik ennek területe minimálissá? 2. Mily módon változik ezen parallelogrammának a területe? 867. (o) Az küllőjű gömbbe egyenlő oldalú kúpot írunk. Ennek alapjával párhuzamosan síkot fektetünk. A síknak mely helyzeténél lesz a kúp és gömb átmetszeteinek összege maximális? (p) Adva van két egyenlő magasságú körhenger térfogatainak összege. Határozzuk meg küllőiket olyként, hogy a palást felületek összege maximálissá váljék. (q) Rhombusba oly téglalap írandó, mely a rhombus átlója körül forgatva a legnagyobb felszínnel bíró hengert adja. (r) Egy háromszögnek ismerjük két oldalát, s a köztük fekvő szöget. Az utóbbi szögnek mely értéke esetében válik a háromszög körül írt kör sugara minimálissá? (K. M. L. I. p. 44.)
T. olvasóinkat kérjük, hogy csakis a számokkal megjelölt feladatok megoldását küldjék be. |