Kezdőlap


Cím:	Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 3.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1900/november, 60 - 63. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

13. Az ABC háromszögbe rajzolható derékszögű parallelogrammák közül melyiknek területe a legnagyobb?

A mellékelt rajzban szereplő hosszúságok rövid jelölése a következő legyen:

\begin{matrix} A D = m, B D = a, C D = b . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} A F I ▵ \sim A B D ▵ \end{matrix}

és

\begin{matrix} A G I ▵ \sim A C D ▵ \end{matrix}

az oldalok arányosságából

\begin{matrix} m : a = (m - x) : F I \end{matrix}

\begin{matrix} m : b = (m - x) : G I . \end{matrix}

Innét

\begin{matrix} F I = \frac{a (m - x)}{m} \end{matrix}

\begin{matrix} G I = \frac{b (m - x)}{m} \end{matrix}

\begin{matrix} F I + G I = F G = \frac{(a + b) (m - x)}{m} \end{matrix}

s a parallelogramma területe

\begin{matrix} y = \frac{(a + b)}{m} (m - x) \cdot x \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{(a + b)}{m} (- x^{2} + m x) . \end{matrix}

Minthogy

x^{2}

-nek negatív az együtthatója, tehát az eminens érték maximum, s beáll, ha

\begin{matrix} x = \frac{m}{2} . \end{matrix}

A maximális terület pedig:

\begin{matrix} y = \frac{m}{4} (a + b) . \end{matrix}

A megelőzőkben ismertetett módszer segítségével még két feladatot fogunk tárgyalni, melyeknél a vizsgált egész függvény más alakú, mint az, a mellyel első sorban foglalkozunk, de arra visszavezethető.

14. Állapítsuk meg az

\begin{matrix} 7 = {(a x + b)}^{2} + {(α x + β)}^{2} \end{matrix}

függvénynek eminens értékeit.

\begin{matrix} y = (a^{2} + α^{2}) x^{2} + 2 (a b + α β) x + b^{2} + β^{2} . \end{matrix}

Minthogy ebben a

2

-fokú egész függvényben

x^{2}

-nek együtthatója (két négyzetszám összege) mindig positív, azért az eminens érték csakis minimum lehet, mely beáll, ha

\begin{matrix} x = - \frac{a b + α β}{a^{2} + α^{2}} . \end{matrix}

A függvénynek minimális értéke pedig

\begin{matrix} y = \frac{{(α β - a b)}^{2}}{a^{2} + α^{2}} . \end{matrix}

15. Állapítsuk meg az

x^{3} + y^{3}

kifejezés eminens értékeit, tudván azt, hogy

x + y = a

, hol

a

alatt positív számot értünk.

A föltételi egyenletből

\begin{matrix} y = a - x \end{matrix}

s ezt a kifejezést helyettesítvén, az

\begin{matrix} x^{3} + {(a - x)}^{3} \end{matrix}

alakot ölt, vagyis

\begin{matrix} 3 a x^{2} - 3 a^{2} x + a^{3} \end{matrix}

lesz a megvizsgálandó függvény. Ennek csakis minimumáról lehet szó, mely beáll, ha

\begin{matrix} x = \frac{a}{2} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} x + y = a, \end{matrix}

tehát ez esetben

\begin{matrix} y = \frac{a}{2} \end{matrix}

s a minimális érték

= \frac{a^{3}}{4}

Az eddigiek begyakorlására ajánljuk a következő feladatok megoldását: ^{$^{*}$}

(a) Az

a

szám oly két részre osztandó, hogy az első rész négyzetének

m

-szereséhez a második rész négyzetének

p

-szeresét hozzáadván, az összeg minimális értékűvé legyen.

(b) Az

A B C

hosszúságon keressük meg azt a pontot, melyre nézve

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} + 3 {\bar{B C}}^{2} \end{matrix}

(K. M. L. IV. 322. feladat.) minimális.

h

és

h'

; határozzuk meg

x, x'

küllőiket oly módon, hogy palástjaik összege

4 π a^{2}

legyen, térfogatuk összege pedig minimálissá váljék.

(d) Rajzoljunk egy adott körnegyedbe maximális területű derékszögű parallelogrammát oly módon, hogy a parallelogramma egyik csúcspontja a körnegyed körének középpontjával egybeessék.

861. (e) Ha valamely egyenlő oldalú háromszög

A B, B C, C A

oldalait ugyanazon arányban osztjuk, s az osztópontokat összekötjük, ismét egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Mily arányban kell az adott háromszög oldalait osztanunk, hogy az osztópontok háromszögének területe minimális legyen?

862. (f) Rajzoljuk az

r

küllőjű körbe a legnagyobb területű derékszögű parallelogrammát.

(g) Rajzoljunk egy adott négyzetbe minimális területű négyzetet. Mily arányban osztják föl a keresett négyzet csúcspontjai az adott négyzet oldalait?

863. (h) Az

A B C

háromszög

B C

oldalának közepe csúcspontja annak a háromszögnek, melynek másik két csúcspontját egy a

B C

oldallal párhuzamos egyenes metszi ki az adott háromszögnek

A B

és

A C

oldalain. Mily helyzete lesz a metsző egyenesnek, ha az ily módon meghatározott új háromszög területe eminens értéket vesz föl?

864. (i) Adott kör síkjának egy pontjától a körhöz szelőt húzunk. A szelőnek mely helyzetében lesz annak a háromszögnek területe maximálissá, melynek egyik csúcspontja a körnek középpontja, másik két csúcspontját pedig a szelő határozza meg a kör kerületén? Szerkesszük meg e szelőt.

(j) Az

A B

vonaldarab

C

-ben oly két részre osztandó, hogy

A C

fölött az

A C D

egyenlő oldalú háromszöget,

C B

fölött a

C B E F

négyzetet szerkesztvén, és

D

-t

F

-fel összekötvén, az

A B E F D

ötszög területe minimális legyen.

865. Az

A B C

háromszög

A D

súlyvonalán keressünk egy oly

M

pontot, melyre nézve

\begin{matrix} {\bar{M A}}^{2} + {\bar{M B}}^{2} + {\bar{M C}}^{2} \end{matrix}

minimális értékű.

(l) Egy téglalap szomszédos oldalai:

a

és

b

. A csúcsoktól egyirányban az oldalra

x

távolságokat rakunk föl, melyek végpontjai egy parallelogrammának csúcspontjai. 1. Mily föltétel mellett minimális ezen parallelogrammának területe? 2. Kísérjük figyelemmel a beírt parallelogramma területének változásait.

866. (m) Adott rhombusba a legnagyobb területű derékszögű négyszög beírandó.

(n) Egy téglalap szomszédos oldalai:

a

és

b

. Két szemköztes csúcstól kiindulva, a szomszédos oldalra

x

távolságokat rakunk föl. Az így talált négy pont egy beírt parallelogrammát szolgáltat. 1. Mikor válik ennek területe minimálissá? 2. Mily módon változik ezen parallelogrammának a területe?

867. (o) Az

R

küllőjű gömbbe egyenlő oldalú kúpot írunk. Ennek alapjával párhuzamosan síkot fektetünk. A síknak mely helyzeténél lesz a kúp és gömb átmetszeteinek összege maximális?

(p) Adva van két egyenlő magasságú körhenger térfogatainak összege. Határozzuk meg küllőiket olyként, hogy a palást felületek összege maximálissá váljék.

(q) Rhombusba oly téglalap írandó, mely a rhombus átlója körül forgatva a legnagyobb felszínnel bíró hengert adja.

(r) Egy háromszögnek ismerjük két oldalát, s a köztük fekvő szöget. Az utóbbi szögnek mely értéke esetében válik a háromszög körül írt kör sugara minimálissá? (K. M. L. I. p. 44.)

^{$^{*}$}T. olvasóinkat kérjük, hogy csakis a számokkal megjelölt feladatok megoldását küldjék be.