Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 3.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1900/november, 60 - 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

13. Az ABC háromszögbe rajzolható derékszögű parallelogrammák közül melyiknek területe a legnagyobb?

 

 

A mellékelt rajzban szereplő hosszúságok rövid jelölése a következő legyen:
AD=m,BD=a,CD=b.
Minthogy
AFIABD
és
AGIACD
az oldalok arányosságából
m:a=(m-x):FI
m:b=(m-x):GI.
Innét
FI=a(m-x)m
GI=b(m-x)m
FI+GI=FG=(a+b)(m-x)m
s a parallelogramma területe
y=(a+b)m(m-x)x
y=(a+b)m(-x2+mx).

Minthogy x2-nek negatív az együtthatója, tehát az eminens érték maximum, s beáll, ha
x=m2.
A maximális terület pedig:
y=m4(a+b).
A megelőzőkben ismertetett módszer segítségével még két feladatot fogunk tárgyalni, melyeknél a vizsgált egész függvény más alakú, mint az, a mellyel első sorban foglalkozunk, de arra visszavezethető.
 
14. Állapítsuk meg az
7=(ax+b)2+(αx+β)2
függvénynek eminens értékeit.

 
y=(a2+α2)x2+2(ab+αβ)x+b2+β2.
Minthogy ebben a 2-fokú egész függvényben x2-nek együtthatója (két négyzetszám összege) mindig positív, azért az eminens érték csakis minimum lehet, mely beáll, ha
x=-ab+αβa2+α2.
A függvénynek minimális értéke pedig
y=(αβ-ab)2a2+α2.
 

15. Állapítsuk meg az x3+y3 kifejezés eminens értékeit, tudván azt, hogy x+y=a, hol a alatt positív számot értünk.
 
A föltételi egyenletből
y=a-x
s ezt a kifejezést helyettesítvén, az
x3+(a-x)3
alakot ölt, vagyis
3ax2-3a2x+a3
lesz a megvizsgálandó függvény. Ennek csakis minimumáról lehet szó, mely beáll, ha
x=a2.
Minthogy
x+y=a,
tehát ez esetben
y=a2
s a minimális érték =a34.
 

Az eddigiek begyakorlására ajánljuk a következő feladatok megoldását: *
 

(a) Az a szám oly két részre osztandó, hogy az első rész négyzetének m-szereséhez a második rész négyzetének p-szeresét hozzáadván, az összeg minimális értékűvé legyen.
 

(b) Az ABC hosszúságon keressük meg azt a pontot, melyre nézve
AC¯2+3BC¯2
(K. M. L. IV. 322. feladat.) minimális.
 
(c) Két körhengernek magasságai h és h'; határozzuk meg x,x' küllőiket oly módon, hogy palástjaik összege 4πa2 legyen, térfogatuk összege pedig minimálissá váljék.
 
(d) Rajzoljunk egy adott körnegyedbe maximális területű derékszögű parallelogrammát oly módon, hogy a parallelogramma egyik csúcspontja a körnegyed körének középpontjával egybeessék.
 

861. (e) Ha valamely egyenlő oldalú háromszög AB,BC,CA oldalait ugyanazon arányban osztjuk, s az osztópontokat összekötjük, ismét egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Mily arányban kell az adott háromszög oldalait osztanunk, hogy az osztópontok háromszögének területe minimális legyen?
 

862. (f) Rajzoljuk az r küllőjű körbe a legnagyobb területű derékszögű parallelogrammát.
 

(g) Rajzoljunk egy adott négyzetbe minimális területű négyzetet. Mily arányban osztják föl a keresett négyzet csúcspontjai az adott négyzet oldalait?
 

863. (h) Az ABC háromszög BC oldalának közepe csúcspontja annak a háromszögnek, melynek másik két csúcspontját egy a BC oldallal párhuzamos egyenes metszi ki az adott háromszögnek AB és AC oldalain. Mily helyzete lesz a metsző egyenesnek, ha az ily módon meghatározott új háromszög területe eminens értéket vesz föl?
 

864. (i) Adott kör síkjának egy pontjától a körhöz szelőt húzunk. A szelőnek mely helyzetében lesz annak a háromszögnek területe maximálissá, melynek egyik csúcspontja a körnek középpontja, másik két csúcspontját pedig a szelő határozza meg a kör kerületén? Szerkesszük meg e szelőt.
 

(j) Az AB vonaldarab C-ben oly két részre osztandó, hogy AC fölött az ACD egyenlő oldalú háromszöget, CB fölött a CBEF négyzetet szerkesztvén, és D-t F-fel összekötvén, az ABEFD ötszög területe minimális legyen.
 
865. Az ABC háromszög AD súlyvonalán keressünk egy oly M pontot, melyre nézve
MA¯2+MB¯2+MC¯2
minimális értékű.
 

(l) Egy téglalap szomszédos oldalai: a és b. A csúcsoktól egyirányban az oldalra x távolságokat rakunk föl, melyek végpontjai egy parallelogrammának csúcspontjai. 1. Mily föltétel mellett minimális ezen parallelogrammának területe? 2. Kísérjük figyelemmel a beírt parallelogramma területének változásait.
 

866. (m) Adott rhombusba a legnagyobb területű derékszögű négyszög beírandó.
 

(n) Egy téglalap szomszédos oldalai: a és b. Két szemköztes csúcstól kiindulva, a szomszédos oldalra x távolságokat rakunk föl. Az így talált négy pont egy beírt parallelogrammát szolgáltat. 1. Mikor válik ennek területe minimálissá? 2. Mily módon változik ezen parallelogrammának a területe?
 

867. (o) Az R küllőjű gömbbe egyenlő oldalú kúpot írunk. Ennek alapjával párhuzamosan síkot fektetünk. A síknak mely helyzeténél lesz a kúp és gömb átmetszeteinek összege maximális?
 

(p) Adva van két egyenlő magasságú körhenger térfogatainak összege. Határozzuk meg küllőiket olyként, hogy a palást felületek összege maximálissá váljék.
 

(q) Rhombusba oly téglalap írandó, mely a rhombus átlója körül forgatva a legnagyobb felszínnel bíró hengert adja.
 

(r) Egy háromszögnek ismerjük két oldalát, s a köztük fekvő szöget. Az utóbbi szögnek mely értéke esetében válik a háromszög körül írt kör sugara minimálissá? (K. M. L. I. p. 44.)

*T. olvasóinkat kérjük, hogy csakis a számokkal megjelölt feladatok megoldását küldjék be.