Cím: Az algebrai függvényekről és az elemi úton megfejthető maximum-minimum feladatokról 2.
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1900/október, 36 - 42. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

6. A függvény értékének változása. Függvényünk egyértékű lévén, a független változó minden értékéhez a függő változónak egy és csakis egy értéke tartozik. E két összetartozó számérték a függvény egy értékrendszere. Másrészt a függvény folytonos lévén, az egyik értékrendszerről a másikra való átmenetel közben megszakítás sehol sincs. Ha tehát a derékszögű coordinaták segítségével a függvénynek egymásra következő értékrendszereit, mint a síknak pontjait ábrázoljuk, akkor a független változó értékeit, mint abscissákat, a hozzájuk tartozó függő változó értékeket, mint ordinatákat tekintjük, s megszerkesztjük a függvényhez tartozó görbe vonalat.

 
7. A 2-od fokú algebrai egész függvény ábrázolása. Föltételezzük azt, hogy az
y=ax2+bx+c
függvénynek a együtthatója positív. Tárgyalásunk most már az
ax2+bx+c=0
vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek természete szerint 3 eshetőséggel áll szemben.
I. Az egyenletnek gyökei x' és x'' valósak, s egymástól külömbözőek. Ennek föltétele az, hogy a discriminans: b2-4ac>0, vagyis positív.
Az egyenlet többtagúját a gyöktényezőkkel fejezzük ki:
y=ax2+bx+c=a(x-x')(x-x'').(1)
Másrészt az ismeretes átalakítások után :
y=a[(x+b2a)2-b2-4ac4a2].(2)
közvetlenül világos, hogy x=- esetében (2) alapján y=+.
Minthogy a discriminans föltétel szerint positív, ennélfogva (2)-ben a kivonandó szintén positív szám. Addig, míg x a --től kiindulva a negatív számsor mentén növekszik, a kisebbítendőnek értéke is növekszik.
x=0esetébeny=c.
Addig míg x a positív számsor mentén növekszik, (2)-ben a kisebbítendő mindinkább nagyobbodván, y-nak értéke is növekedőleg halad, s x=+ esetében ismét y=+ lesz.
Az eddigiek még nem myújtanak tiszta képet. De tekintsük most az x',x" gyököket. Tudjuk, hogy
x=x'esetébeny=0
x=x''esetébeny=0
tehát a függvény értéke kétszer veszi föl a zérus értéket. Föltéve, hogy x''<x', akkor a--től kezdődőleg növekedő független változó mellett a függvény értéke először x=x'' esetében, másodszor x=x' esetében válik zérussá. Ha a függvény folytonos, akkor ezen két érték között negatívvá kell válnia, még pedig oly módon, hogy x''-től kezdve értéke fogy, majd x-nek egy bizonyos értékétől kezdve ismét növekszik, hogy másodszor átmehessen a O-on. Lássunk egy példát.
y=x2-8x+12
a megelőzők szerint így írható föl:
=a[(x-82)2-64-4124]
y=(x-4)2-4.
A függvény értékváltozásait az x-nek x=--től x=+-ig való változása közben csak a legjellemzőbb esetekre vonatkozólag számítván, a következő táblázatot állíthatjuk össze :
 
  x    -02468+y    +120-4012+   
 
A függvényt ábrázoló görbét ebből a 7 pontból megrajzolhatjuk.
 

 

A rajznak kettős előnye van : 1. megtekintése a függvény változásáról tisztább képet nyújt mint a milyent akármilyen, még oly részletességgel kidolgozott értékrendszer- táblázat nyújthatna; 2. a görbe vonalban a parabolára ismerünk.
Az x=4,y=-4 értékrendszer a parabola tetőpontját adja meg. A függvény az x=2...6 intervallum mentén negatív értéket vesz fel. Az x=-...4 intervallumban a függvény értéke fogy, az x=4...+ intervallumban pedig ismét növekedik. A fogyás és növekedés közös határa a parabola tetőpontja; itt veszi föl a függvény a lehető legkisebb értéket. Mikor a függvény fogyásból növekedésbe megy át, akkor azt mondjuk róla, hogy minimumát éri.
Visszatérve az általános eset tárgyalására, kérdés, x-nek mely értékére nézve veszi föl y e minimális értéket? A (2) alaknak puszta megtekintéséből láthatjuk, hogy a külömbség alakjában kifejezett y értéke akkor válik minimálissá, ha a kisebbítendője
(x+b2a)2=0,
tehát ha
x=-b2a.
Ennék az értéknek megfelelőleg
y=-b2-4ac4a.
II. Az egyenletnek gyökei valósak és egymás közt egyenlők. Ennek föltétele az, hogy
b2-4ac=0.
Ebben az esetben
y=a(x+b2a)2
alakot ölti, s a függvénynek egyáltalában nincsenek negatív értékei. A minimum esete ismét
x=-b2a
mellett áll be, melyhez az y=0 érték tartozik. Például legyen
y=9x2-6x+1
akkor
y=(3x-1)2
alakban állítható elő. A legjellemzőbb értékrendszerek táblázata most:
 
  x    -01323+y    +101+   
 

III. Az egyenletnek gyökei képzetesek. Ennek föltétele az, hogy b2-4ac<0, vagyis a discriminans negatív.
Az
y=a[(x-b2a)2-b2-4ac4a2]
alak most azt mutatja, hogy a függvény a független változónak minden értékére nézve positív értéket vesz föl. A minimum akkor áll be, ha ez az első tag eltűnik, tehát
x=-b2a.
Például:
y=4x2-5x+3,
miből
y=4(x-58)2+2316.
8. Ha a negatív. Ebben az esetben a független változónak az abscissa tengely mentén való növekedése közben a függő változó ugyanazon az értéksorozaton halad át, mint a melyen positív a esetében, csakhogy mindvégig ellenkező előjellel.
 
Ha tehát x a --től -b2a-ig növekszik, e közben y is --től 4ac-b24a-ig növekszik; x-nek -b2a-tól +-ig növekedése közben pedig y a 4ac-b24a-tól --ig csökkenik. A függvény az x=-b2a értékre nézve maximumát éri.
Az ax2+bx+c=0 egyenlet gyökeinek természete szerint ismét 3 eset lehetséges, a szerint, a mint a két gyök valós; (pl.y=-x2+4x-3); a gyökök egyenlőek (pl. y=-x2+4x-4) és a gyökök képzetesek (pl. y=-x2+6x-17).
 

9. Végeredmények. A megelőzőket egybevetve, a következő tételt nyerjük:
Az y=ax2+bx+c függvény a közben, míg a független változó --től +-ig halad, positív a esetében +-től kezdve a minimális 4ac-b24a értékig csökkenőleg, innét kezdve +-ig növekedőleg halad; negatív a esetében --től maximális 4ac-b24a értékig növekedőleg, innét kezdve --ig csökkenőleg halad.
Ha a függvény maximális vagy minimális értékeit, (melyek csakis külön-külön léphetnek föl) egy szóval eminens-értékeknek nevezzük, akkor a föntebbi tételt még így is kifejezhetjük:
Az y=ax2+bx+c függvény a független változónak -b2a értéke esetében eminens értéküvé válik, és pedig maximumát, illetőleg minimumát éri, a szerint, amint az a együttható negatív, illetőleg positív.
A függvénnyel kapcsolatos parabola tengelye az abscissák tengelyére merőleges lévén, az eminens értéknek megfelelő tetőpontjában érintője az abscissák tengelyével párhuzamos.
Annak eldöntése, vajon az eminens érték maximum-e avagy minimum, attól függ, hogy a görbe vonal a kérdéses pont közelében homorú-e avagy domború-e az abscissa tengelyre nézve? Ezek után lássunk nehány példát!
 
10. Osszunk föl egy adott a hosszúságot oly két részre, hogy a részek fölött alakított egyenlő oldalú háromszögek területeinek összege minimális legyen.
Nevezzük a-nak egyik részét x-nek; akkor a másik rész (a-x). Az ezen oldalak fölött szerkesztett egyenlő oldalú háromszögek területeinek összege
y=14x23+14(a-x)23
y=32(x2-ax+a22).
E függvény minimuma beáll, ha
x=a2
értéke pedig
y=38a2.
 
11. Keressük meg x-nek, azt az értékét, a mely mellett az
y=(a1-x)2+(a2-x)2+...+(an-x)2
függvény minimális értéket vesz föl.
y=nx2-2ax+a2.
Minthogy x2-nek együtthatója positív, tehát az eminens érték tényleg minimum, s beáll, ha
x=1na.

Ha tehát valamely ismeretlen x számnak az értékét n számú astronomiai, physikai, geodtikai vagy más megfigyeléssel akarjuk meghatározni, és az igazi x szám helyett az észlelés hibáival pontatlanított a1a2...an eredményekhez jutunk, akkor az egyes mérésekből nyert számok arithmetikai középarányosa adja meg az x-nek legvalószinűbb értékét, föltéve, hogy valamennyi mérés vagy megfigyelés egyformán megbízható. A kérdéses esetben ugyanis a legkisebb négyzetösszegek módszere szerint az
(a1-x),(a2-x),...(an-x)
hibák négyzeteinek összege minimummá válik.
 
12. Az adott a alap fölött szerkesztett 2s kerületű háromszögek közül melyiknek területe a legnagyobb?
 
Ha x a keresett háromszögnek második oldala, akkor a harmadik oldal (2s-a-x) s így területe a Heron-féle képlet szerint :
y=s(s-a)(s-x)(a+x-s)
honnét:
y2=s(s-a)[-x2+(2s-a)x-s(s-a)].
A függvény értékének négyzete tehát maximális értékűvé válik, ha
x=s-a2
honnét
2s-a-x=s-a2
vagyis a keresett háromszög egyenlő szárú és területe
y=a2s(s-a).