Kezdőlap


Cím:	A kúpszeletek elemi tulajdonságai 2. (Középpontos kúpszeletek)
Szerző(k):	Antal Márkus
Füzet:	1901/április, 205 - 210. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II. Középpontos kúpszeletek

I. definíczió. A középpontos kúpszelet geometriai helye mindazon pontoknak, melyek adott körtől (vezérkör:

F_{1}

) és adott ponttól (gyújtópont:

F_{2}

) egyenlő távolságra vannak.

A szerkesztés a definíczió alapján a következőként történik: A vezérkör valamely

P'

pontját összekötjük

F_{2}

-vel. Az

F_{2} P'

-re

P_{1}

felezéspontjában állított merőleges az

F_{1} P'

-t a görbe

P

pontjában metszi.

Bizonyítás.

\begin{matrix} P P_{1} P' ▵ ≅ P P_{1} F_{2} ▵, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P P' = P F_{2} . \end{matrix}

F_{1} F_{2}

a vezérkört az

A'_{1}

és

A'_{2}

pontokban metszi, akkor az

F_{2} A_{1}'

és

F_{2} A_{2}'

távolságok felezéspontjai

(A_{1}

és

A_{2})

szintén pontjai a görbének és

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = \frac{A_{2}' F_{2}}{2} + \frac{A_{1}' F_{2}}{2} = \frac{A_{1}' A_{2}'}{2} = 2 a \end{matrix}

Ha a

P'

és

P''

pontokat úgy vesszük fel a vezérkörön, hogy

P' P'' ⊥ F_{1} F_{2}

, és megszerkesztjük a nekik megfelelő

P

és

P

pontokat, akkor ezek az

F_{1} F_{2}

-től egyenlő távolságra feküsznek, tehát :

I. tétel. Az

F_{1} F_{2}

egyenes tengelye a közénpontos kúpszeletnek.

II. definiczió. Az

A_{1} A_{2}

távolságot a középpontos kúpszelet főtengelyének nevezzük.

II. tétel. A főtengely hossza

(A_{1} A_{2} = 2 a)

egyenlő a vezérkör sugarával.
Ha pedig a

P_{1}'

és

P_{2}'

pontokat úgy vesszük fel, hogy a

P_{1}' P_{2}'

átmenjen az

F_{2}

fokuson és a

P_{1} P_{2}

F_{1} F_{2}

-t

O

-ban metszi; az

F_{1} P_{1} F_{2} P_{2}

parallelogramma, mert a

P_{1}' F_{1} P_{2}'

egyenlőszárú háromszögben

\begin{matrix} F_{2} P_{1}' P_{1} ∢ = F_{1} P_{2}' F_{2} ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P_{1}' F_{2} P_{1} ∢ = F_{1} P_{2}' F_{2} ∢ \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{2}' F_{2} P_{2} ∢ = F_{1} P_{1}' F_{2} ∢ \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F_{1} P_{1} ∥ F_{2} P_{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{1} F_{2} ∥ P_{2} F_{1} . \end{matrix}

O

tehát a főtengely felezéspontjában fekszik és

\begin{matrix} O P_{1} = O P_{2}, tehát \end{matrix}

III. tétel. A főtengely felezőpontja a középpontos kúpszelet középpontja. Jogosan neveztük tehát ezen kúpszeleteket a parabolával szemben középpontos kúpszeleteknek.
Az

I

. tétel alapján a

P_{1}

és

P_{2}

tükörképei

(P_{3}

és

P_{4})

a főtengelyre vonatkozólag szintén a görbén vannak. Ha

P_{1} P_{4}

és

P_{2} P_{3}

O

-ban a főtengelyre állított merőlegest az

R_{1}

és

R_{2}

pontokban metszik, akkor:

\begin{matrix} P_{1} R_{1} = P_{4} R_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{2} R_{2} = P_{3} R_{2}, \end{matrix}

tehát:

IV. tétel. A középpontos kúpszelet középpontjában a főtengelyre állított merőleges szintén tengelye a görbe vonalnak.

I .

feladat. Keressük valamely egyenes

(g)

és egy meg nem rajzolt középpontos kúpszelet metszéspontjait.
Megoldás. Ha

g

a görbét pl.

M

-ben és

F_{1} M

a vezérkört

M'

-ben metszi, akkor:

M M' = F_{2} M

(

I .

definiczió). Ha pedig

F_{2}

-nek

g

-re vonatkozó tükörképe

F'_{2}

, akkor:

M F_{2} = M F'_{2}

. Az

M

tehát oly kör középpontja, a mely átmegy az

F_{2}, F'_{2}

és

M'

pontokon. Ez a kör azonban érinti is a vezérkört, mert

M'

a két kör centrálisán

(F_{1} M)

van.
Az adott egyenes és görbének minden metszéspontja tehát középpontja oly körnek, a mely átmegy a két ismert

F_{2}

és

F'_{2}

pontokon és érinti a vezérkört.

A probléma megoldása tehát a következőként történik: Rajzolunk kört, mely átmegy az

F_{2}

és

F'_{2}

pontokon és a vezérkört pl. az

X, Y

pontokban metszi.

X Y

és

F_{2} F_{2}' H

metszéspontjából megrajzoljuk a vezérkörhöz a

H M'_{1}

és

H M'_{2}

érintőket. Az

F_{1} M_{1}'

és

F_{1} M'_{2}

g

-t a keresett

M_{1}

és

M_{2}

pontokban metszi.
A bizonyítás egyszerűen azon az alapon eszközölhető, hogy három kör, hatványvonalai

(F_{2} F_{2}', X Y

és

H M_{1}'

vagy

H M'_{2})

egy pontban

(H)

metszik egymást.
Minthogy egy pontból a körhöz legfeljebb két érintő húzható, tehát legfeljebb két metszéspont van, tehát: V. tétel. A középpontos kúpszelet másodrendű görbe vonal.

Mi történik, ha

g

-t az

M_{1}

körül a nyíl irányában forgatom? Az

M_{2}

folyton közeledik az

M_{1}

-hez, az

F_{2}'

pedig az

F_{2} F'_{2} M_{1}'

körön a

M_{1}'

-hez. A

g

egy meghatározott határhelyzethez közeledik és mikor

F'_{2}

összeesik

M'_{1}

-gyel, akkor

H

M'_{1}

-be jön, tehát

g

-nek a görbe vonallal való

M_{2}

metszéspontja beleesett az

M_{1}

-be. A

g

-ből tehát a

t

érintő lett. Tehát:
VI. tétel. A középpontos kúpszeletnél a fokusnak

(F_{2})

az érintőre vonatkozó tükörképeinek

(F'_{2})

geometriai helye a vezérkör.
Ha a fokusból az érintőre bocsátott merőleges talppontja

M_{1}

, akkor :

\begin{matrix} O M_{1} : F_{1} M'_{1} = F_{2} O : F_{2} F_{1} = 1 : 2, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} O M_{1} = \frac{F_{1} M'_{1}}{2} = a, \end{matrix}

tehát: VII. tétel. A fokusból az érintőre bocsájtott merőleges talppontjának

(M_{1}

) geometriai helye oly kör, melyet a középpontos kúpszelet középpontja körül a főtengely felével rajzolunk. Ezt a kört, mely a görbe vonal csúcsain

(A_{1}

és

A_{2})

áthalad, főkörnek nevezzük.

I I .

feladat. Rajzoljunk a középpontos kúpszelet

M_{1}

pontjában érintőt.
Megoldás. Az

F_{1} M_{1}

messe a vezérkört

M'_{1}

-ben,

F_{2} M'_{1}

pedig a főkört

M_{1}

-ben, akkor

M_{1} M_{I}

lesz az érintő.

Tegyük fel, hogy az

M_{1}

és

M_{2}

pontokban rajzolt érintők egymást

M

-ben metszik, akkor, ha

F_{1} M_{1}

, illetőleg

F_{1} M_{2}

a vezérkört az

M'_{1}

, illetőleg

M'_{2}

pontokban metszik:

\begin{matrix} M M'_{1} = M F_{2} = M M'_{2}, \end{matrix}

tehát

M'_{1}, M'_{2}

és

F_{2}

oly kör kerületén feküsznek, melynek középpontja a két érintő metszéspontja

M

. Ennek alapján könnyű megoldani a következő feladatot:

I I I .

feladat. Adott pontból rajzoljunk a középpontos kúpszelethez érintőket.
Megoldás. Az adott

M

pont körül

M F_{2}

radiussal rajzolt kör a vezérkört messe

M'_{1}

és

M'_{2}

pontokban. Ha az

F_{2} M'_{1}

és

F_{2} M'_{2}

a főkört az

M_{I}

és

M_{I I}

-ben metszik, akkor

M M_{I}

és

M M_{I I}

lesznek a keresett érintők. A hol pedig

F_{1} M'_{1}

illetőleg

F_{1} M_{2}'

M M_{I}

illetőleg az

M M_{I I}

érintőket metszi, kapjuk az

M_{1}

és

M_{2}

érintési pontokat.
A továbbiakban tárgyalásaink kettéválnak. Már a szerkesztésnél is észrevehető ugyanis, hogy a szerint, a mint a gyújtópont a vezérkörön belül vagy kívül fekszik, lényegesen különbözők a görbe vonalak. Az első esetben (ellipsis) ugyanis a görbe vonal minden pontjával a főkörön belül fekszik, a második esetben (hyperbola) pedig a főkörön kívül. Vagyis :
VIII. tétel. Az ellipsis zárt görbe.
Az ellipsis középpontjából nem lehet az ellipsishez érintőket rajzolni, a hyperbolánál pedig lehet.
IX. tétel. A hyperbola középpontjából rajzolt érintők a hyperbolát a végtelenben érintik, azért ezeket végérintőknek vagy asymptotáknak is hívjuk.

Bizonyítás. Ha az

O F_{2}

radiussal rajzolt kör az ellenkört

E'_{1}

és

E'_{2}

pontokban metszi, akkor

F_{2} E'_{1}

és

F_{2} E'_{2}

érintik a főkört, még pedig

E_{I}

és

E_{I I}

-ben.

O E_{I}

és

O E_{I I}

az érintők, tehát

\begin{matrix} F_{2} E_{I} O ∢ = F_{2} O_{I I} O ∢ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} F_{2} E'_{1} F_{1} ∢ = F_{2} E'_{2} F_{1} = 90^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O E_{I} ∥ F_{1} E'_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} O E_{I I} ∥ F_{1} E'_{2}, \end{matrix}

vagyis az érintési pontok tényleg a végtelenben vannak.
X. tétel. A hyperbola tehát nyÍlt kétágú görbe.
Az ellipsisnél a melléktengely metszi a görbét

(P

-ben), a hyperbolánál pedig nem.
Ha az ellipsis melléktengelyének hosszát

P_{1} P

-t

2 b

-vel és az

F_{1} F_{2}

távolságot, melyet excentricitásnak nevezünk,

2 c

-vel jelölöm, akkor az

O F_{1} P

derékszögú háromszögben

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

A hyperbolánál is szoktunk melléktengelyről beszélni és ilyenkor a melléktengely

B_{1}

és

B_{2}

végpontjait úgy nyerjük, hogy

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = A_{1} B_{2} = A_{2} B_{1} = A_{2} B_{2} = c \end{matrix}

vagyis a hyperbolánál:

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

Végül ha a görbe vonal pontjait az

F_{1}, F_{2}

-vel összekötő távolságokat

(r_{1}

és

r_{2})

rádiusvektoroknak nevezzük, akkor: az ellipsisnél

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} = 2 a \end{matrix}

és a hyperbolánál

\begin{matrix} r_{1} - r_{2} = 2 a . \end{matrix}

Az eddigiek alapján oldjuk meg a következő feladatokat:

932. Bizonyítsuk be, hogy az

\frac{ellipsis}{hyperbola}

érintője felezi a radius vektorok által bezárt

\frac{szög mellékszögét}{szöget}

933. Mutassuk ki, hogy az

\frac{ellipsisnél}{hyperbolánál}

a radius vektorok

\frac{összege}{különbsége}

egyenlő a vezérkör sugarával.

934. Mutassuk ki, hogy minden középpontos kúpszeletnek két fokusa és két vezérköre van.